Integrali impropri

[matemalu]

Salve ragazzi, ho alcuni dubbi riguardo lo studio della convergenza degli integrali impropri. Posto un esercizio:
\$\int_0^2 (logx)/(x^2-4)dx\$

Ho studiato il dominio che risulta essere: \${(x>0),(x!=2)}\$
Il segno della funzione è: positivo per \$0 e negativa per \$1 Quindi ho pensato di dividere l'integrale in due parti e studiarle separatamente e nella parte in cui la funzione risulta negativa, considero il modulo. è giusto il procedimento?

[matemalu]

Perché non scrive correttamente le formule?

[Obidream]

Devi togliere gli slash

[Noisemaker]

"matemalu":Salve ragazzi, ho alcuni dubbi riguardo lo studio della convergenza degli integrali impropri. Posto un esercizio:
$\int_0^2 (logx)/(x^2-4)dx $

Ho studiato il dominio che risulta essere: ${(x>0),(x!=2)} $
Il segno della funzione è: positivo per $0 e negativa per $1 Quindi ho pensato di dividere l'integrale in due parti e studiarle separatamente e nella parte in cui la funzione risulta negativa, considero il modulo. è giusto il procedimento?

[matemalu]

Grazie
Quindi divido l' integrale nei due intervalli $(0,1)$ e $(1,2)$..nel primo caso studio $\lim_(x->0)((logx)/(x^2-4))$ ,il cui risultato è $\+oo$ se non ho sbagliato...e per la seconda parte in cui la funzione è negativa?

[Noisemaker]

per utilizzare il confronto asintotico è sufficiente che la funzione in un intorno del punto critico mantenga segno costante;

[matemalu]

Altro problema: $int_2^(+oo) ((x-(x^2+1)^(1/2)))/logx dx$
L'integrale risulta essere improprio solo a $+oo$, inoltre la funzione è negativa nell' intervallo considerato..
ho considerato il $lim_(x->+oo) f(x)$ e il risultato è 0 (mi fido di wolfram). Quindi non posso concludere nulla sulla convergenza dell' integrale improprio. Avevo pensato di vedere a cosa è asintotico il numeratore per $x->+oo$
In che modo vado avanti?

[Noisemaker]

il fatto che il limite della funzione integranda, quando $x\to+\infty$ vada a zero non è sufficiente per concludere la convergenza dell'integrale, perchè devi stabilire con che ordine va a zero, cioè con che velocità tende a zero....

[matemalu]

Quando $x->+oo$ trovo che $x-(x^2+1)^(1/2)$ è asintotico a $x$ quindi considero $lim_(x->+oo) x/logx=+oo$ perché il numeratore è un infinito di ordine superiore e a questo punto concludo che l' integrale diverge..giusto?

[Noisemaker]

attenzione

quel numeratore, prima di stimarlo asintoticamente va razionalizzato ....

[matemalu]

Bene, allora opero in questo modo:
$(x-(x^2+1)^(1/2))*(x+(x^2+1)^(1/2))/(x+(x^2+1)^(1/2))= (-1)/(x+(x^2+1)^(1/2))$
Dai miei calcoli, a questo punto, ottengo che la funzione integranda è asintotica a $-1/x$ quindi mi riduco a studiare $int_2^(+oo) -1/x dx = lim_(b->+oo) (-log(b)+log(2)) = -oo$ quindi diverge.
Esatto?

[Noisemaker]

e il denominatore della funzione integranda che fine ha fatto?!?

[matemalu]

Scusami, con la razionalizzazione ottengo che la funzione integranda diventa: $(-1)/((x+(x^2+1)^(1/2))*logx)$
quando $x->(+oo)$, $(x+(x^2+1)^(1/2))*logx$ è asintotico a $xlogx$...quindi $int_2^(+oo) (-1)/(xlogx)dx$ che diverge per l' integrale fondamentale..

[Noisemaker]

ora si

[matemalu]

Grazie milleeeeeee

[matemalu]

Ho un nuovo problema con questo integrale improrio:
$int_0^(+oo) (t^2)/(e^(t^2))dt$
Ora,l' integrale risulta improprio solo a $+oo$ quindi ho studiato il $lim_(t->+oo) f(t)=0$ perché l'ordine di infinito del numeratore è minore dell' ordine di infinito del denominatore. A questo punto devo vedere con che ordine l' integranda va a 0 ma non riesco a trovare maggiorazioni/minorazioni o stime asintotiche che mi permettano di concludere

[Noisemaker]

ma non servono maggiorazioni.... basta osservare che la funzione integranda quando $x\to+\infty$ va a zero di ordine sicuramente maggiore di uno, va di ordine esponenziale , e dunque certamente converge quell'integrale!

[matemalu]

Ok..avevo ragionato anch' io in questo modo ma non ne ero pienamente convinta..questi integrali impropri sono il mio incubo! Grazie!!

[matemalu]

Determinare i valori di $alpha$ per cui il seguente integrale improprio è convergente:
$int_0^(pi/4) (x^(alpha)-tgx)/(sinx)^2dx$
L' integrale è improprio solo in $x=0$ quindi considerando gli sviluppi di Taylor, abbiamo scritto:
$x->0$
$tgx~x$ e $sen(x)^2~x^2$. quindi l' integranda diventa: $(x^(alpha)-x)/(x^2)$ e con semplificazioni otteniamo $(x^(alpha-1)-1)/x$. Avevamo pensato di dividere in $x^(alpha-2)$ e $-1/x$ e integrare...però otteniamo $logx$ che ci dà problemi in 0. Abbiamo sbagliato metodo? Aiutino?

[Obidream]

Io proverei a fare queste considerazioni...
Per $x->0$ al numeratore hai che $x^\alpha-tg(x)=x^\alpha-x+o(x^\alpha)$, quindi se $\alpha<1$ per le proprietà degli o-piccolo diventa $x^\alpha+o(x^\alpha)$ e quindi l'integranda si comporta come:

$x^\alpha/x^2$

Mentre se $\alpha>1$, al numeratore avrai $-x+o(x)$ quindi l'integranda in questo caso si comporterà come:

$-1/x$

Infine il caso $\alpha=1$ lo lascio a te

Da qui dovresti concludere facilmente