Integrali Immediati 4 esercizi
Salve ho preso da un libro di analisi 2 degli eesercizi per allenarsi con gli integrali immediati e solo 4 non sono riuscito a risolvere...
PRIMO
$int cos 3xcosx dx $
SECONDO
$int (cosx-cos^3x)/(1-cosx) dx $
TERZO
$int (1-sin^2x)(cos^2x+1)/(cos^2x) dx $ Qui lo so che $(1-sin^2x)$ è uguale a $cos^2x$ comunque non riesco ad andare avanti...
QUARTO
$int (2x)/(x^4+2x^2+2) dx $
chi mi aiuta?? vi chiedo solo di non usare altri metodi(sostituzione,per parti) perchè questi sono immediati e vorrei capire come ci si arriva così...
PRIMO
$int cos 3xcosx dx $
SECONDO
$int (cosx-cos^3x)/(1-cosx) dx $
TERZO
$int (1-sin^2x)(cos^2x+1)/(cos^2x) dx $ Qui lo so che $(1-sin^2x)$ è uguale a $cos^2x$ comunque non riesco ad andare avanti...
QUARTO
$int (2x)/(x^4+2x^2+2) dx $
chi mi aiuta?? vi chiedo solo di non usare altri metodi(sostituzione,per parti) perchè questi sono immediati e vorrei capire come ci si arriva così...
Risposte
Idee tue?
Al PRIMO
$ cos3x $ posso scriverlo come $cos(2x+x)$ e con le regole di bisezione o come si chiamano lo scompongo ma cmq dopo mi blocco....
Al SECONDO
metto in evidenzia al numeratore $cos x$ e mi esce $(1-cos^2x)cosx$ ma $1-cos^2x$ si può scrivere anche $(1-cosx)(1+cosx)$ si semplifica col denominatore ma cmq mi blocco
Al TERZO
come ho detto $1-sen^2x = cos^2$ lo semplifico col denominatore ma poi mi blocco....
Al QUARTO
ho visto il risultato sul libro e sembra che sia un arcotan dunque si deve solo comprimere il denominatore ma non vedo come fare.....
$ cos3x $ posso scriverlo come $cos(2x+x)$ e con le regole di bisezione o come si chiamano lo scompongo ma cmq dopo mi blocco....
Al SECONDO
metto in evidenzia al numeratore $cos x$ e mi esce $(1-cos^2x)cosx$ ma $1-cos^2x$ si può scrivere anche $(1-cosx)(1+cosx)$ si semplifica col denominatore ma cmq mi blocco
Al TERZO
come ho detto $1-sen^2x = cos^2$ lo semplifico col denominatore ma poi mi blocco....
Al QUARTO
ho visto il risultato sul libro e sembra che sia un arcotan dunque si deve solo comprimere il denominatore ma non vedo come fare.....
Per esempio nel quarto puoi usare la scomposizione di Hermite per risolvere l'integrale.
"guardiax":
Al PRIMO
$ cos3x $ posso scriverlo come $cos(2x+x)$ e con le regole di bisezione o come si chiamano lo scompongo ma cmq dopo mi blocco....
Meglio usare le formule di prostaferesi.
"guardiax":
Al SECONDO
metto in evidenzia al numeratore $cos x$ e mi esce $(1-cos^2x)cosx$ ma $1-cos^2x$ si può scrivere anche $(1-cosx)(1+cosx)$ si semplifica col denominatore ma cmq mi blocco
Dunque:
\[
\begin{split}
\int \frac{\cos x - \cos^2 x}{1-\cos x}\ \text{d} x &= \int \frac{\cos x\ \cancel{(1-\cos x)}}{\cancel{1-\cos x}}\ \text{d} x\\
&= \int \cos x\ \text{d}x
\end{split}
\]
che non mi pare complicato...
"guardiax":
Al TERZO
come ho detto $1-sen^2x = cos^2$ lo semplifico col denominatore ma poi mi blocco....
Dunque:
\[
\begin{split}
\int (1-\sin^2 x)\ \frac{\cos^2 x +1}{cos^2 x}\ \text{d} x &= \int (1+\cos^2 x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
con l'ultimo integrale che si calcola per parti.
"guardiax":
Al QUARTO
ho visto il risultato sul libro e sembra che sia un arcotan dunque si deve solo comprimere il denominatore ma non vedo come fare.....
Beh, \(2x\) è la derivata di \(x^2\) e tutto il denominatore è una funzione di \(x^2\).
al secondo ho sbagliato al traccia invece di $cos^2x$ e $cos^3x$ per questo mi blocco non esce quello che hai scritto... al quarto non so cosa sia hermite ... nel terzo arrivato lì non ce qualche integrale immediato da utilizzare invece che per parti!?!?
Allora ti do una mano, in modo interattivo, prendiamo il secondo integrale.
Come dovresti approcciare:
$1) $ Ci vedi dentro, delle funzioni circolari quindi, tieniti a portata di mano le formule per le funzioni circolari. In questo ti servono la formula di duplicazione del coseno (se ancora non vuoi risolvere $ int (cosx)^2dx $ per parti) e la relazione fondamentale tra seno e coseno.
$2)$ E' un rapporto di funzioni, quindi speri in qualche modo di semplificare.
$3)$ Devi ricordarti i prodotti notevoli, ti consiglio di leggere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_notevole e studiarti quelli più facili da ricordare, finchè non arrivi alla regola generale, in questo integrale devi usare questo $ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $
$4)$ Devi esercitarti a raccogliere i fattori comuni in una somma di termini: in questo caso hai una situazione del tipo $ a-a^3=a(1-a^2) $
Non sono in ordine questi passi, devono essere applicati tutti fino a quando non arrivi a somme di integrali immediati. Se hai gli strumenti provali prima di bloccarti.
Come dovresti approcciare:
$1) $ Ci vedi dentro, delle funzioni circolari quindi, tieniti a portata di mano le formule per le funzioni circolari. In questo ti servono la formula di duplicazione del coseno (se ancora non vuoi risolvere $ int (cosx)^2dx $ per parti) e la relazione fondamentale tra seno e coseno.
$2)$ E' un rapporto di funzioni, quindi speri in qualche modo di semplificare.
$3)$ Devi ricordarti i prodotti notevoli, ti consiglio di leggere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_notevole e studiarti quelli più facili da ricordare, finchè non arrivi alla regola generale, in questo integrale devi usare questo $ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $
$4)$ Devi esercitarti a raccogliere i fattori comuni in una somma di termini: in questo caso hai una situazione del tipo $ a-a^3=a(1-a^2) $
Non sono in ordine questi passi, devono essere applicati tutti fino a quando non arrivi a somme di integrali immediati. Se hai gli strumenti provali prima di bloccarti.
forse non ci siamo capiti.... al secondo ho gia scritto che ho usato le regole di trigonometria e del somma per differenza e arrivo in un punto di stallo...
Bene allora suppongo che lo stallo sia qui:$ int cosx(1-cosx)dx$ beh l'integrale è lineare quindi l'integrale della somma è la somma degli integrali (se era qui lo stallo, consiglierei di rileggere per bene il capitolo sugli integrali, prima di farne altri perchè non avresti capito le proprietà basilari).
Per cui devi calcolare $int cosxdx$, che è elementare, e ancora se non lo sai, rileggeti il testo.
E $ int -(cosx)^2=-int (cosx)^2 $ (anche qui vedi sopra è la linearità).
Se la roba sopra non ti ha dato problemi presumo che lo stallo sia qui: $ int (cosx)^2 $ ma fin qui non dovevi usare formule trigonometriche quindi chiaramente visto che hai detto che le hai usate lo stallo non è qui. Quindi presumo tu abbia fatto questo passo avendo ben note le due formule che ti ho citato al passo $ 1)$ ovvero $cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2 $ e $(cosx)^2 + (sinx)^2=1 $ se hai idea di come maneggiare le equazioni (altrimenti fare gli integrali mi sembra un pò difficile perchè devi pasticciare parecchio) scopri che $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx$.
Quindi a questo punti, o non sai integrare $1/2int cos2xdx $ o non sai integrale $ 1/2intdx $ la seconda la vedo dura a non saperla, la prima si integra chiedendosi se puoi moltiplicare e dividere per la derivata dell'argomento del coseno in modo da avere la formula $int f'(x)g'(f(x))dx=g(f(x))$ ovvero $ 1/2*1/2*int 2cos(2x)dx=1/4*sin2x $. Ovviamente se non sei d'accordo deriva per controllare.
Adesso che abbiamo svolto spiegami bene dove fosse lo stallo, così ti rendi conto dove sbagli o dove non sai?
Per cui devi calcolare $int cosxdx$, che è elementare, e ancora se non lo sai, rileggeti il testo.
E $ int -(cosx)^2=-int (cosx)^2 $ (anche qui vedi sopra è la linearità).
Se la roba sopra non ti ha dato problemi presumo che lo stallo sia qui: $ int (cosx)^2 $ ma fin qui non dovevi usare formule trigonometriche quindi chiaramente visto che hai detto che le hai usate lo stallo non è qui. Quindi presumo tu abbia fatto questo passo avendo ben note le due formule che ti ho citato al passo $ 1)$ ovvero $cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2 $ e $(cosx)^2 + (sinx)^2=1 $ se hai idea di come maneggiare le equazioni (altrimenti fare gli integrali mi sembra un pò difficile perchè devi pasticciare parecchio) scopri che $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx$.
Quindi a questo punti, o non sai integrare $1/2int cos2xdx $ o non sai integrale $ 1/2intdx $ la seconda la vedo dura a non saperla, la prima si integra chiedendosi se puoi moltiplicare e dividere per la derivata dell'argomento del coseno in modo da avere la formula $int f'(x)g'(f(x))dx=g(f(x))$ ovvero $ 1/2*1/2*int 2cos(2x)dx=1/4*sin2x $. Ovviamente se non sei d'accordo deriva per controllare.
Adesso che abbiamo svolto spiegami bene dove fosse lo stallo, così ti rendi conto dove sbagli o dove non sai?
Allora tu più o meno ti sei spiegato bene ma arrivato qua:
$int ((1-cosx)(1+cosx)cosx)/(1-cosx) dx $
semplifico e mi rimane:
$int (1+cosx)cosx dx $ mi esce $1+cosx$ e non come te $1-cosx$
poi il mio stallo sta qua divido in due integrali...
$int cosx dx + int cos^2x dx $
il primo integrale e semplice il secondo come lo faccio?? da quello che hai scritto non mi è chairo come ti è uscito $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx$. il risultato è
$[1/2sinxcosx+sinx+x/2+c]$
$int ((1-cosx)(1+cosx)cosx)/(1-cosx) dx $
semplifico e mi rimane:
$int (1+cosx)cosx dx $ mi esce $1+cosx$ e non come te $1-cosx$
poi il mio stallo sta qua divido in due integrali...
$int cosx dx + int cos^2x dx $
il primo integrale e semplice il secondo come lo faccio?? da quello che hai scritto non mi è chairo come ti è uscito $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx$. il risultato è
$[1/2sinxcosx+sinx+x/2+c]$
Dunque, se vuoi il mio parere, il tuo problema non è tanto il metodo, quanto il fatto che ti mancano totalmente i fondamenti di calcolo letterale o il concetto di equazione.
Per esempio, io ho fatto un errore di segno come hai giustamente notato, il punto è che tu non dovresti avere dubbi di averlo fatto giusto quel segno.
Come non dovresti avere dubbi sul concetto di equazioni equivalenti: cioè se dico $ a=3 $ e $ b=a+1 $ non puoi andare in panico perchè non sai calcolare $ b $. Analogamente se ti dico $ a^2+b^2=1 $ non devi rimanere basito se affermo che ciò è equivalente a dire $ a^2=1-b^2 $. Sono operazioni fondamentali tra equazioni, che permettono di scriverle in diversi modi.
Ti spiego: $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx $ a guardarlo così, a meno che non lo conosca a memoria, nemmeno io saprei dirti se è vero. Tuttavia se ti dico questo:
Esprimi $ a^2 $ in funzione della sola $ c $ sapendo che:
$ a^2+b^2=1 $ e $ c=a^2-b^2 $
E poi ti dico bene adesso chiamo $ a,b,c $ in altri modi ad esempio, $ a=cosx,b=sinx,c=cos2x $ e giusto perchè ti serve ti dico anche questo $ sin2x=2sinxcosx $ (e ribadisco, non hai le formule di duplicazione sottomano come hai detto che avevi).
Se tu non sei in grado di farlo, allora se vuoi colmare la lacuna, studiati il calcolo letterale (che si chiama così non perchè è bello usare le lettere, ma perchè le lettere possono rappresentare qualsiasi cosa nella mia equazione, quindi sono oggetti che vado a "riempire" dopo con dei numeri), invece di fare gli integrali, perchè il problema non è con gli integrali.
Se proprio non capisci questi concetti, prenditi un qualunque libro di programmazione (informatica) e cercati un capitolo sul concetto di variabile, assegnamento di variabile, costanti, funzioni.
In bocca al lupo!
Per esempio, io ho fatto un errore di segno come hai giustamente notato, il punto è che tu non dovresti avere dubbi di averlo fatto giusto quel segno.
Come non dovresti avere dubbi sul concetto di equazioni equivalenti: cioè se dico $ a=3 $ e $ b=a+1 $ non puoi andare in panico perchè non sai calcolare $ b $. Analogamente se ti dico $ a^2+b^2=1 $ non devi rimanere basito se affermo che ciò è equivalente a dire $ a^2=1-b^2 $. Sono operazioni fondamentali tra equazioni, che permettono di scriverle in diversi modi.
Ti spiego: $ int (cosx)^2dx=int(cos(2x)+1)/2dx $ a guardarlo così, a meno che non lo conosca a memoria, nemmeno io saprei dirti se è vero. Tuttavia se ti dico questo:
Esprimi $ a^2 $ in funzione della sola $ c $ sapendo che:
$ a^2+b^2=1 $ e $ c=a^2-b^2 $
E poi ti dico bene adesso chiamo $ a,b,c $ in altri modi ad esempio, $ a=cosx,b=sinx,c=cos2x $ e giusto perchè ti serve ti dico anche questo $ sin2x=2sinxcosx $ (e ribadisco, non hai le formule di duplicazione sottomano come hai detto che avevi).
Se tu non sei in grado di farlo, allora se vuoi colmare la lacuna, studiati il calcolo letterale (che si chiama così non perchè è bello usare le lettere, ma perchè le lettere possono rappresentare qualsiasi cosa nella mia equazione, quindi sono oggetti che vado a "riempire" dopo con dei numeri), invece di fare gli integrali, perchè il problema non è con gli integrali.
Se proprio non capisci questi concetti, prenditi un qualunque libro di programmazione (informatica) e cercati un capitolo sul concetto di variabile, assegnamento di variabile, costanti, funzioni.
In bocca al lupo!
Sei stato utilissimo .. faccio ingengeria informatica dunque so cosa sono le varibili e assegnamento e altro... cmq credo di aver capito e per le altre tre?!?!
Prova a pasticciare con le formule, scusa ma se te li risolvo io ogni volta come pretendi di imparare? Per i primi tre puoi cavartela usando le regole che abbiamo scritto fin qui, se fossi in te me le scriverei tutte (e dico tutte) su un foglio unico. Per il quarto usa la sosituzione di Hermite (se non sai cos'è, prendi un libro, cerca su internet, chiedi al professore, oppure http://garr2011.dma.unipi.it/saccon/DID ... ionali.pdf trovato su google in due secondi).
L'ultimo consiglio che ti do però è smettere di fare esercizi (e di chiederne la soluzione prima di aver studiato la teoria) e prenderti il tuo libro, rileggerti le proprietà degli integrali e trovarti qualche esempio in cui vengono usate. Buon lavoro.
L'ultimo consiglio che ti do però è smettere di fare esercizi (e di chiederne la soluzione prima di aver studiato la teoria) e prenderti il tuo libro, rileggerti le proprietà degli integrali e trovarti qualche esempio in cui vengono usate. Buon lavoro.
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