Integrali generalizzati...
Chi mi sa dire qualcosa sugli integrali generalizzati?
E quando è che un integrale converge?
Grazie.
E quando è che un integrale converge?
Grazie.
Risposte
sarebbero gli integrali impropri?
Integrali generalizzati e impropri e loro proprieta...
Poi una cosa...quando è che converge un integrale?
Ciao.
Poi una cosa...quando è che converge un integrale?
Ciao.
bè un integrale rappresenta l'area al disotto di una funzione....ma può essere che in determinati punti la funzione "se ne scappi" all'infinito (ad es con gli asintoti) il problema è capire se l'area al di sotto di tale funzione è finita (ovvero tende a qualche valore) o infinita.....nel primo caso quindi si dice che l'integrale converge mentre nel secondo si dice che diverge
Due esempi di integrali
I Tipo - $int_a^oo dx/x^alpha$ -Converge se $ alpha > 1 ; a ne 0$
$int_1^oo dx/x^2 $converge mentre $int_1^oo dx/x $ diverge
II Tipo - $int _a ^b dx/(x-a)^alpha $ -Converge se $alpha < 1$ ; $b ne oo $
$int_0^2 dx/x $ diverge
$ int_0^2 dx/sqrt(x) $ converge.
I Tipo - $int_a^oo dx/x^alpha$ -Converge se $ alpha > 1 ; a ne 0$
$int_1^oo dx/x^2 $converge mentre $int_1^oo dx/x $ diverge
II Tipo - $int _a ^b dx/(x-a)^alpha $ -Converge se $alpha < 1$ ; $b ne oo $
$int_0^2 dx/x $ diverge
$ int_0^2 dx/sqrt(x) $ converge.
Scusate ma non ho capito...quindi per vedere se diverge cosa devo fare?
Ciao.
Ciao.
In generale risolvere un integrale improrio significa verificare che il limite della somma risulti finito cioè ad es:
$\int_1^(oo)1/x^2dx=lim_(Rtooo)\int_1^R1/(x^2)dx=lim_(Rtooo)(-1/x)|_1^R=lim_(Rtooo)(-1/R+1)=1$
in questo caso il limite esisiste ed è finito e l'integrale converge....e come vedi è uno degli esempi standard che ti ha descritto Camillo
$\int_1^(oo)1/x^2dx=lim_(Rtooo)\int_1^R1/(x^2)dx=lim_(Rtooo)(-1/x)|_1^R=lim_(Rtooo)(-1/R+1)=1$
in questo caso il limite esisiste ed è finito e l'integrale converge....e come vedi è uno degli esempi standard che ti ha descritto Camillo
In genere si fa per confronto, o per asintoticità.
Nel caso delle funzioni "oscillanti" in genere si usa il criterio di Dirichelet.
Un esempio:
$1/x^3$ è integrabile a $+oo$?? la confronto con $1/x^2$ che a $+oo$ è sempre piu' grande della funzione ed è integrabile
$lim_(x to +oo)(1/x^3)/(1/x^2)=1/x=0$ siccome la funzione è maggiorata da una funzione che è integrabile, anche lei sarà integrabile (a +infinito)
Per quanto riguarda l'integrabilità in $0$ si invertono i ragionamenti, cioè $1/x^2$ non è piu' integrabile. Lo è invece $1/sqrtx$
"Il limite" di integrabilità è sempre $1/x$ con abuso del termine.
Nel caso delle funzioni "oscillanti" in genere si usa il criterio di Dirichelet.
Un esempio:
$1/x^3$ è integrabile a $+oo$?? la confronto con $1/x^2$ che a $+oo$ è sempre piu' grande della funzione ed è integrabile
$lim_(x to +oo)(1/x^3)/(1/x^2)=1/x=0$ siccome la funzione è maggiorata da una funzione che è integrabile, anche lei sarà integrabile (a +infinito)
Per quanto riguarda l'integrabilità in $0$ si invertono i ragionamenti, cioè $1/x^2$ non è piu' integrabile. Lo è invece $1/sqrtx$
"Il limite" di integrabilità è sempre $1/x$ con abuso del termine.
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