Integrali generalizzati
Ciao, sto svolgendo integrali generalizzati però non riesco mai a capire la logica che ci sta dietro.. a volte mi sembra di aver capito, altre volte no..
Ad esempio, propongo questo caso:
$\int_{\root3(3)}^{+oo} 1/((x^6 - 6x^3 + 9)^(\alpha))dx$
Faccio x che tende a $+oo$
quindi $1/(x^(6\alpha))$ quindi $\alpha > 1/6$
ps: che cosa significa x che tende all'infinito? vedendo alcuni esercizi svolti vedo sempre che c'è scritto, come in questo caso, però non capisco il significato. All'inizio quando provavo gli esercizi pensavo che si dovesse sostituire un $+oo$ da qualche parte, ma mi sono accorto in realtà che non è cosi. E allora mi viene da scriverlo cosi, senza capire il motivo per cui lo scrivo..
Un'alta cosa che ho notato è che prendo sempre l'esponente più grande, come $x^6$, infatti mi sembra di ricordare in questo caso le serie quando facevo il confronto.
Il resto l'ho capito, in questo caso applichiamo la definizione di convergenza, come nelle serie armoniche generalizzate, e quindi converge solamente per $\alpha > 1/6$
Poi dovrei studiare il caso x che tende a $root3(3)$, che sinceramente non saprei da dove cominciare.
Qualcuno riesce a rispolverare i miei dubbi e darmi una mano?
Ad esempio, propongo questo caso:
$\int_{\root3(3)}^{+oo} 1/((x^6 - 6x^3 + 9)^(\alpha))dx$
Faccio x che tende a $+oo$
quindi $1/(x^(6\alpha))$ quindi $\alpha > 1/6$
ps: che cosa significa x che tende all'infinito? vedendo alcuni esercizi svolti vedo sempre che c'è scritto, come in questo caso, però non capisco il significato. All'inizio quando provavo gli esercizi pensavo che si dovesse sostituire un $+oo$ da qualche parte, ma mi sono accorto in realtà che non è cosi. E allora mi viene da scriverlo cosi, senza capire il motivo per cui lo scrivo..
Un'alta cosa che ho notato è che prendo sempre l'esponente più grande, come $x^6$, infatti mi sembra di ricordare in questo caso le serie quando facevo il confronto.
Il resto l'ho capito, in questo caso applichiamo la definizione di convergenza, come nelle serie armoniche generalizzate, e quindi converge solamente per $\alpha > 1/6$
Poi dovrei studiare il caso x che tende a $root3(3)$, che sinceramente non saprei da dove cominciare.
Qualcuno riesce a rispolverare i miei dubbi e darmi una mano?
Risposte
Quello che dici te, di sostituire M con infinito, si fa quando devi calcolare l'integrale improprio.
Quando invece devi studiare la convergenza studi le estremità dell'intervallo. Quindi poni $xtoinfty$ perché l'integrale non è definito in quel caso, mentre non è sempre detto che devi studiare anche l'altro estremo di integrazione se l'integrale è definito in quel punto...
Quando invece devi studiare la convergenza studi le estremità dell'intervallo. Quindi poni $xtoinfty$ perché l'integrale non è definito in quel caso, mentre non è sempre detto che devi studiare anche l'altro estremo di integrazione se l'integrale è definito in quel punto...
Ah ora capisco il vero significato di studiare gli estremi..
Ovviamente io ho notato che per x tendente a $+oo$ prendiamo sempre l'esponente più grande, come in questo caso $x^6$ e poi si svolgono i vari calcoli per determinare il parametro che porta alla convergenza..(come ho detto nel messaggio precedente)
Però in questo caso, secondo quello che dici tu, pare evidente che anche il primo estremo bisogna studiarlo, quindi mi stavo domandando il metodo utilizzato per l'estremo $\root3(3)$. E' evidente che non posso utilizzare quello che ho fatto in precedenza, se l'ho già fatto con $+oo$
Ovviamente io ho notato che per x tendente a $+oo$ prendiamo sempre l'esponente più grande, come in questo caso $x^6$ e poi si svolgono i vari calcoli per determinare il parametro che porta alla convergenza..(come ho detto nel messaggio precedente)
Però in questo caso, secondo quello che dici tu, pare evidente che anche il primo estremo bisogna studiarlo, quindi mi stavo domandando il metodo utilizzato per l'estremo $\root3(3)$. E' evidente che non posso utilizzare quello che ho fatto in precedenza, se l'ho già fatto con $+oo$
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