Integrali generalizzati

[franc3sc01]

Buongiorno a tutti.
Ho tre integrali generalizzati di cui studiare la convergenza in base ai parametri $\alpha,\beta in R$. Non ho le soluzioni, quindi vorrei sapere se ho fatto giusto.

1) $\int_3^{+oo} \frac{|\cos(x)||\sin(x)|}{(x+2)^\alpha(x^2-9)|x-3|^{2\beta+3}}$
Studio la funzione in un intorno di $3^+$. In quest'intorno, $f ~ \frac{1}{(x-3)(x+3)(x-3)^{2\beta+3}}~\frac{1}{(x-3)(x-3)^{2\beta+3}}~ \frac{1}{(x-3)^{2\beta+4}} $ e quindi l'integrale converge in $3^+$ se e solo se $\beta < -3/2$, per ogni valore di $\alpha$.
In un intorno di $+oo$ invece, $f~1/x^{\alpha+2\beta+5}$ e quindi per convergere deve essere $\alpha+2\beta+5 > 1$, ossia $\alpha+2\beta>-4$ e combinando con il risultato precedente viene che $f$ è AISG(assolutamente integrabile in senso generalizzato) se e solo se $\alpha < -1$ e $\beta < -3/2$


2) $\int_0^{+oo}\frac{(x^\alpha-1)arctan(x)}{x^\beta+1}$
Si presenterebbero problemi soltanto per $x=-1$, allora studio la funzione a $+oo$.
$f ~ (x^\alpha-1)/(x^\beta+1) ~ \frac{x^\alpha}{x^\beta}=x^{\alpha-\beta}$
quindi ho convergenza solo se $\beta > \alpha + 1$


3)$\int_0^{+oo}\frac{|sin(x^2)}{x^\beta(x^\alpha+3)}$
Mi viene che in $0^+$ posso avere due casi
3.1) $\alpha<0$ e allora $\alpha+\beta <3$
3.2) $\alpha>=0$ allora $\beta <3$
mentre in un intorno di $+oo$ posso avere
3.3) $\alpha>=0$ allora $\beta+\alpha > 1$
3.4) $\alpha <0$ allora $\beta > 1$

SOno giusti? Grazie mille

[Noisemaker]

"franc3sc0":
2)$\int_0^{+oo}\frac{(x^\alpha-1)arctan(x)}{x^\beta+1}$
Mi viene che in $0^+$ posso avere due casi
2.1) $\alpha<0$ e allora $\alpha+\beta <3$
2.2) $\alpha>=0$ allora $\beta <3$
mentre in un intorno di $+oo$ posso avere
2.3) $\alpha>=0$ allora $\beta+\alpha > 1$
2.4) $\alpha <0$ allora $\beta > 1$

SOno giusti? Grazie mille

in zero l'integrale non è improprio ....

[franc3sc01]

"Noisemaker":[quote="franc3sc0"]
2)$\int_0^{+oo}\frac{(x^\alpha-1)arctan(x)}{x^\beta+1}$
Mi viene che in $0^+$ posso avere due casi
2.1) $\alpha<0$ e allora $\alpha+\beta <3$
2.2) $\alpha>=0$ allora $\beta <3$
mentre in un intorno di $+oo$ posso avere
2.3) $\alpha>=0$ allora $\beta+\alpha > 1$
2.4) $\alpha <0$ allora $\beta > 1$

SOno giusti? Grazie mille

in zero l'integrale non è improprio ....[/quote]

Scusami, l'analisi che avevo riportato era per un altro integrale. Ho modificato il messaggio

[franc3sc01]

E ho aggiunto anche un integrale in più