Integrali fratti - rapporto tra polinomi

[Carmine011]

Buona sera a tutti, sono nuovo e questo sito m'ispira parecchia cultura xD
Spero possiate darmi una mano a capire come funzionano -come da titoli- il rapporto tra polinomi NEL CASO DI DETLA NEGATIVO (quello con le lettere A e B).
Nello specifico ho questo esercizio che funge da esempio:

\( \int \frac{1-2x}{x^2+2x-5} dx\)


vorrei farlo usando il metodo sopra citato. Ho provato a cercare altri post ma non ho capito comunque come funziona quel medoto (che so applicare benissimo per delta >0 e =0).
Grazie infinite.

[ciampax]

In quel caso il delta è positivo! Semmai puoi usare $x^2+2x+5$: in tal caso non puoi scomporre il denominatore: in queste situazioni quello che si usa è il metodo di completamento del quadrato. In pratica, considera i termini contenenti $x$ (al momento tralascia il termine noto): essi possono essere guardati come il quadrato del primo termine e il doppio prodotto di un quadrato di binomio. A questo punto chiediti: se i termini sono $x^2,\ 2x$ quale sarà il termine $a$ che restituisce il secondo quadrato nello sviluppo di $(x+a)^2$? L'ovvia risposta è che $a=1$: pertanto possiamo scrivere

$x^2+2x+5=x^2+2x+1-1+5=(x+1)^2+4$

A questo punto per calcolare l'integrale velocemente poni $x+1=2t$ e poi segui il metodo standard (cerca di scomporre il numeratore in modo che appaia la derivata del denominatore, spezza in due l'integrale e trova i due risultati).