Integrali fratti con delta minore di zero

[sam17091]

Ciao a tutti, volevo chiedervi un chiarimento per gli integrali fratti con delta minore di zero.
Ad esempio quando ho un integrale di questo tipo $ int-1/(x^2+3) dx $, scompongo il denominatore e ottengo:
$ int -1/(3(x^2/3+1)) dx $
Capisco dalla forma che si tratta di un arcotangente, ma come continuo?
Devo far apparire la derivita a numeratore?

Grazie

[quantunquemente]

si può mettere nella forma
$-1/sqrt3int(1/sqrt3)/(1+(x/sqrt3)^2)dx$

[sam17091]

Ok ok mi è chiaro tutto.
Quindi l'idea generale è che al numeratore compaia la derivata del numeratore giusto?
Ma se per esempio non ci fosse stato il 3 davanti alla parentesi del denominatore? avrei dovuto fare lo stesso il giochetto di dividere e moltiplicare per la derivata del denominatore?

[Alegomind]

Ciao, in casi come questi, se non si può ricondurre il numeratore a derivata del denominatore è opportuno ottenere (anche completando dei quadrati eventualmente) una forma del tipo:

\[\int \frac{1}{f^2(x)+m^2}d\left ( f(x) \right )=\frac{1}{m}arctg\frac{f(x)}{m}+c\]
Nel tuo caso
\[\int -\frac{1}{x^2+3}dx=-\int \frac{1}{(x)^2+(\sqrt{3})^2}d(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}arctg\frac{x}{\sqrt{3}}+c\]

[sam17091]

Grazie mille per mavermi risposto.

Senza aproire un altro post, ti chiedo qui un chiarimento su questo integrale:
$ int_(0)^(2) dx /(sqrt(x^2+4)+2) $
Posso fare una normale sostituzione, ad esempio $ sqrt(x^2+4)+2 = t $ o devo utilizzare per forza la forma trigonometrica?

[Alegomind]

Non sei necessariamente obbligato a fare una sostituzione con una funzione goniometria, tuttavia più che la sostituzione da te proposta, io opterei per la sostituzione $sqrt(x^2+4)=(t-x)$. Facendo attenzione ad i calcoli, semplificando quello che si può semplificare e facendo poi una decomposizione in fratti semplici ( obbligatori di solito con questo tipo di sostituzioni ) dovresti arrivarci.