Integrali facili facili

[noipo]

Ciao, ho appena iniziato a fare esercizi sugli integrali e li trovo più complicati di quello che pensavo.
Ho visto svolto quest'esercizio:

$\int x/(sqrt(a+x^2)) dx = \int x/(a+x^2)^(1/2) dx = \int x*(a+x^2)^(-1/2) dx = 1/2 \int (a+x^2)^(-1/2)*2x * dx = $
$= 1/2 \int (a+x^2)^(-1/2)*D(a+x^2) dx = 1/2 ((a+x^2)^(-1/2+1))/(-1/2+1) + c = 1/2 2 sqrt(a+x^2) + c = sqrt(a+x^2)$

Ho capito tutto tranne il passaggio da $\int x*(a+x^2)^(-1/2) dx$ a $1/2 \int (a+x^2)^(-1/2)*2x * dx$, cosa fa, che regola segue? Bo..

Similmente:

$\int x/(sqrt(a-x^2)) dx = \int x/(a-x^2)^(1/2) dx = \int x*(a-x^2)^(-1/2) dx = -1/2 \int (a-x^2)^(-1/2)*2x * dx = $
$= -1/2 \int (a-x^2)^(-1/2)*D(a-x^2) dx = -1/2 ((a-x^2)^(-1/2+1))/(-1/2+1) + c = 1/2 2 sqrt(a-x^2) + c = sqrt(a-x^2)$

Non capisco sempre gli stessi passaggi di prima..

Usa l'integrale $\int [f(x)]^b * f'(x) * dx = [f(x)]^(b+1)/(b+1) + c$ e fin qui ci sono ma perchè porta fuori $1/2$/$-1/2$? Perchè così "compensa" il $2x$?

Inoltre anche questi due integrali non mi vengono:

$\int sen ax * dx $

$\int cos ax * dx $

Io direi $\int sen ax * dx = cos ax + c$ e $\int cos ax * dx = sen ax +c$, usando le formule scritte sul libro stesso, cioè
$\int sen hx * dx = cos hx + c$ e $\int cos hx * dx = sen hx + c$.

Invece le soluzioni corrette sono: $\int sen ax * dx = -1/a cos ax + c$ e $\int cos ax * dx = 1/a sen ax +c$.
Ho interpretato io male le formule?

Grazie

[noipo]

Sempre sullo stesso libro c'è scritto $\int 1/(sqrt(1+x^2)) dx = $ sett $sen h x+ c = log(x+sqrt(1+x^2))+c$ ed altre formule simili.. sett per cosa sta? Cosa significa? Sul libro non ne parla..

Grazie

[yex1]

per quanto riguarda l'integrale $\int x/sqrt(a+x^2)dx$ io punterei più su un sistema di risoluzione abbastanza semplice e che abbiano un senso "logico",piuttosto che buttare il capo su questi passaggi che a me chiari non sono.
Si potrebbe svolgere l'esercizio in questo modo secondo me:

$\int x/sqrt(a+x^2)dx$

da quanto mi ricordo dalle lezioni del mio professore,la $a$ può assumere un qualsiasi numero naturale(potrebbe essere anche che mi sbaglio).

Usiamo il metodo di sostituzione

$h=a+x^2$ dove $dh=2xdx$

e avremo

$1/2 \int1/sqrt(h)dh =1/2\int h^(-1/2) dh = sqrt(h)+c =sqrt(a+x^2)+c$

stesso procedimento vale anche per gli integrali $\int sin(ax)dx$ e $\int cos(ax)dx$

prendiamo per esempio $\int sin(ax)dx$:

Usiamo il metodo di sostituzione

$h=ax$ dove $dh=adx$

e avremo

$1/a \int sen (h) dh =-cos(h)/a+c=-cos(ax)/a +c$

il "sett" invece dovrebbe essere il settore ed è legato alle funzioni iperbolice delle funzioni trigonometriche.

[noipo]

"yex":
il "sett" invece dovrebbe essere il settore ed è legato alle funzioni iperbolice delle funzioni trigonometriche.

Ah ok ho capito, in effetti con le sostituzioni è più semplice e le posso applicare praticamente sempre. Grazie mille!