Integrali: esercizio teorico
Buona sera, se qualcuno ha pazienza di leggere, vorrei sapere se è corretto lo svolgimento di questo esercizio, perche naturalmente, questo tipo di esercizi non hanno mai una soluzione che si possa consultare.... posto il mio tentativo
Sia $f:[1;+\infty)\to \mathbb{R}$ una funzione tale che:
\begin{align*}
f(1) =1 \qquad f'(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}
\end{align*}
Provare che esiste finito il limite
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty}f(x)
\end{align*}
Soluzione
La funzione $f(x)$ è monotona crescente, in quanto la sua derivata prima è sempre maggiore di zero:
\begin{align*}
f'(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}>0,\qquad \forall \,\, x\in \mathbb{R},\,\,\,\, \mbox{in particolare} \,\,\,\,\forall \,\, x\in [1;+\infty);
\end{align*}
e dunque, per $x \to +\infty,$ ammetterà certamente limite, in particolare se la funzione risulta limitata allora questo limite sarà un numero reale (cioè sarà finito). Si tratta quindi di dimostrare che la funzione $f(x)$ è limitata superiormente, cioè che esiste un numero $M$ tale che:
\begin{align*}
|f (x)|
Allora, preso ad arbitrio un generico punto $y\in [1;+\infty)$ avremo, per la monotonia di $f,$ che:
\begin{align*}
f(y) >f(1) =1\quad \forall \,\, y>1,\,\,\,\, \text{da cui }\,\,\,\,\frac{1}{f(y)}<1
\end{align*}
e dunque :
\begin{align*}
f'(y) =\frac{1}{y^2+f^2(y)}<\frac{1}{y^2+1}
\end{align*}
Essendo monotona, la funzione risulta Reimann integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato $ [1;x]\subset[1;+\infty),$ e dunque integrando ambo i membri , otteniamo:
\begin{align*}
\int _1^{x}f'(y)\,\,dy =\int _1^{x}\frac{1}{y^2+f^2(y)}\,\,dy &<\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy\\
\left[f (y)\right]_1^{x}&<\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy\\
f (x)- f (1) = f (x)- 1 &<\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy
\end{align*}
evidentemete, detto un pò alla buona, l'area della funzione integranda dell'ultimo integrale sarà certamente minore dell' area della stessa funzione, positiva, sull'intervalllo più grande $ [1;+\infty),$ e allora possiamo maggiorarla con:
\begin{align*}
f (x)- f (1) <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy
\end{align*}
e dunque:
\begin{align*}
f (x)- f (1) &<\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy= \lim_{k \to +\infty}\left[\arctan y\right]_1^{k}=\lim_{k \to +\infty} (\arctan k-\arctan 1)\\
f (x)-1 &<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\\
f (x) &<1+\frac{\pi}{4}
\end{align*}
Detto $M=1+\frac{\pi}{4},$ abbiamo che la funzione risulta superiormente limitata, e dunque essendo monotona crescente tederà al proprio estremo superiore che risuta essere finito; dunque
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty}f(x)=L<1+\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}
\end{align*}
Sia $f:[1;+\infty)\to \mathbb{R}$ una funzione tale che:
\begin{align*}
f(1) =1 \qquad f'(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}
\end{align*}
Provare che esiste finito il limite
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty}f(x)
\end{align*}
Soluzione
La funzione $f(x)$ è monotona crescente, in quanto la sua derivata prima è sempre maggiore di zero:
\begin{align*}
f'(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}>0,\qquad \forall \,\, x\in \mathbb{R},\,\,\,\, \mbox{in particolare} \,\,\,\,\forall \,\, x\in [1;+\infty);
\end{align*}
e dunque, per $x \to +\infty,$ ammetterà certamente limite, in particolare se la funzione risulta limitata allora questo limite sarà un numero reale (cioè sarà finito). Si tratta quindi di dimostrare che la funzione $f(x)$ è limitata superiormente, cioè che esiste un numero $M$ tale che:
\begin{align*}
|f (x)|
Allora, preso ad arbitrio un generico punto $y\in [1;+\infty)$ avremo, per la monotonia di $f,$ che:
\begin{align*}
f(y) >f(1) =1\quad \forall \,\, y>1,\,\,\,\, \text{da cui }\,\,\,\,\frac{1}{f(y)}<1
\end{align*}
e dunque :
\begin{align*}
f'(y) =\frac{1}{y^2+f^2(y)}<\frac{1}{y^2+1}
\end{align*}
Essendo monotona, la funzione risulta Reimann integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato $ [1;x]\subset[1;+\infty),$ e dunque integrando ambo i membri , otteniamo:
\begin{align*}
\int _1^{x}f'(y)\,\,dy =\int _1^{x}\frac{1}{y^2+f^2(y)}\,\,dy &<\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy\\
\left[f (y)\right]_1^{x}&<\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy\\
f (x)- f (1) = f (x)- 1 &<\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy
\end{align*}
evidentemete, detto un pò alla buona, l'area della funzione integranda dell'ultimo integrale sarà certamente minore dell' area della stessa funzione, positiva, sull'intervalllo più grande $ [1;+\infty),$ e allora possiamo maggiorarla con:
\begin{align*}
f (x)- f (1) <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy
\end{align*}
e dunque:
\begin{align*}
f (x)- f (1) &<\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy= \lim_{k \to +\infty}\left[\arctan y\right]_1^{k}=\lim_{k \to +\infty} (\arctan k-\arctan 1)\\
f (x)-1 &<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\\
f (x) &<1+\frac{\pi}{4}
\end{align*}
Detto $M=1+\frac{\pi}{4},$ abbiamo che la funzione risulta superiormente limitata, e dunque essendo monotona crescente tederà al proprio estremo superiore che risuta essere finito; dunque
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty}f(x)=L<1+\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}
\end{align*}
Risposte
Mi sembra più semplice così:
$[f(x)=1+\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt]$
$[\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=\int_{1}^{x}1/t^2dt] rarr [\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=1-1/x] rarr$
$rarr [lim_(x->+oo)\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=1] rarr [lim_(x->+oo)f(x)<=2]$
$[f(x)=1+\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt]$
$[\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=\int_{1}^{x}1/t^2dt] rarr [\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=1-1/x] rarr$
$rarr [lim_(x->+oo)\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=1] rarr [lim_(x->+oo)f(x)<=2]$
ti ringrazio per la risposta, e per la soluzione elegante ... quindi posso considerare comunque corretto il mio svolgimento, anche non snello?
Hai semplicemente maggiorato utilizzando una funzione un po' più complessa:
$[f(x)=1+\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt]$
$[\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=\int_{1}^{x}1/(t^2+1)dt] rarr [\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=arctgx-pi/4] rarr$
$rarr [lim_(x->+oo)\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=pi/4] rarr [lim_(x->+oo)f(x)<=1+pi/4]$
Inoltre, dato che $[f'(x)=1/(x^2+[f(x)]^2)]$, la funzione è certamente derivabile e quindi integrabile in ogni intervallo superiormente limitato. Voglio dire, per ottenere quella maggiorazione, non è necessario preoccuparsi del fatto che sia monotòna. Questa proprietà risulta fondamentale solo per dedurre l'esistenza del limite per $[x->+oo]$.
$[f(x)=1+\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt]$
$[\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=\int_{1}^{x}1/(t^2+1)dt] rarr [\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=arctgx-pi/4] rarr$
$rarr [lim_(x->+oo)\int_{1}^{x}1/(t^2+[f(t)]^2)dt<=pi/4] rarr [lim_(x->+oo)f(x)<=1+pi/4]$
Inoltre, dato che $[f'(x)=1/(x^2+[f(x)]^2)]$, la funzione è certamente derivabile e quindi integrabile in ogni intervallo superiormente limitato. Voglio dire, per ottenere quella maggiorazione, non è necessario preoccuparsi del fatto che sia monotòna. Questa proprietà risulta fondamentale solo per dedurre l'esistenza del limite per $[x->+oo]$.
Applicando Lagrange:\(f(n)-f(n-1) =\frac{1}{\xi^2+f^2(\xi)}\leq\frac{1}{\xi^2}\leq\frac{1}{(n-1)^2}, n-1< \xi< n\) da cui:
\( f(n)-f(1) \leq \sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i^2}\)
Quindi \( f(x) \) è superiormente limitata in quanto la serie a secondo membro è convergente e \( f(x) \) è crescente..
\( f(n)-f(1) \leq \sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i^2}\)
Quindi \( f(x) \) è superiormente limitata in quanto la serie a secondo membro è convergente e \( f(x) \) è crescente..
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