Integrali, esercizio teorico

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sia $a in ]0,1[$ e sia $RR^+$ una funzione continua. Provare che la serie è convergente.

$\sum_{n=1}^oo \int_1^(1+a^n) f(t)dt$


Ho provato così:

per il teorema dell'integrale della media si ha

$ EE c_n in ]1, 1+a^n[ : \int_1^(1+a^n) f(t)dt = f(c_n)a^n$

quindi
$\sum_{n=1}^oo f(c_n)a^n $

come faccio vedere che questa serie converge?

[anto_zoolander]

ma sicuro che sia vero?

dovendo essere $0leqint_(1)^(1+a)f(x)dxleqsum_(n=1)^(+infty)int_(1)^(1+a^n)f(x)dx$

prendi $f(x)=1/(x-1)$

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"anto_zoolander":ma sicuro che sia vero?

cosa?

[anto_zoolander]

che la serie sia convergente.

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Si. è la richiesta di un esercizio di un compito di esame.
richiede proprio di far vedere che la serie diverse

[anto_zoolander]

Nel messaggio iniziale hai scritto "provare che la serie è convergente" e ora che è tratto da un esercizio d'esame nel quale è richiesto un controesempio(diverse=diverge?)

ad ogni modo la funzione $f(x)=1/(x-1)$ è tale che

- $f:(1,+infty)->RR^(+)$

- è continua in $(1,+infty)$
- comunque preso $a in (0,1)$ si ha $+infty=int_(1)^(1+a)f(x)dxleqsum_(n=1)^(+infty)int_(1)^(1+a^n)f(x)dx$

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l'esercizio è preso da un compito esame di analisi 1 (facoltà di matematica).
Provare che la serie è convergente per i miei prof sta a significare dimostra che essa converge.
in effetti però prendendo $f(x)=1/(x-1)$ la serie diverge.
Quindi a questo punto non saprei, forse hanno sbagliato a scrivere il testo loro, io l'ho copiato per come è nel compito d'esame.

[anto_zoolander]

Oltre al fatto che messa così si trova un controesempio non mi capacito del fatto che si usi $(1,+infty)$ come dominio e poi essendo $a in (0,1)$ l'integrale lo si calcola al più in un sotto-insieme di $(1,2)$

sicura che il dominio non fosse tipo $[1,2]$ o $[1,+infty)$?

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si sicura. Ho esattamente copiato il testo d'esame.
se c'è un modo per allegare la foto, allego direttamente il testo d'esame.

[anto_zoolander]

Beh si a questo punto sono curioso
nell'editor basta che metti "aggiungi immagine" e la scegli dal tuo computer

se riesci, dopo averla caricata nell'editor, mettila sotto OT così non si fa confusione

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[Reyzet]

Le cose ovviamente cambiano, essendo f definita in 1.

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scusa, hai ragione..

[anto_zoolander]

sapresti dove mettere mano considerando questa differenza(che è fondamentale)?

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Dopo scriverla utilizzando il teorema della media dell integrale no. Poi non saprei come continuare.

[anto_zoolander]

Ma non c'è bisogno di tirare in ballo la media integrale

considera che essendo $f$ continua in $[1,+infty)$ a maggior ragione lo sarà in $[1,1+a^n]$ quindi per weierstrass puoi considerare $M_n=max_(t in [1,1+a^n])f(t)$ e $M=max_(t in [1,2])f(t)$ che sono ben definiti

inoltre $0 1<1+a^n<2$ quindi $M_n

$0leqf(t)leqM_n forall t in [1,1+a^n] => 0leqint_(1)^(1+a^n)f(t)dtleqint_(1)^(1+a^n)M_ndt=a^nM_nleqa^nM$

quindi sommando $sum_(n=1)^(+infty)int_(1)^(1+a^n)f(t)dtleqMsum_(n=1)^(+infty)a^n=(Ma)/(1-a)$

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Giusto!
Grazie

[dissonance]

Comunque andava bene anche l'idea di usare la media integrale, in fondo è la stessa cosa. Il fatto che \(f\) sia definita in \([1, \infty)\) è solo un distrattore, l'unica cosa che ti serve qui è la restrizione di \(f\) a \([1, 2]\).