Integrali ed uso teorema di cauchy sui dischi

[Ania1234]

Ciao a tutti,

io dovrei calcolare il seguente integrale: [tex]\int_{\gamma} \frac{dz}{z^2-1}[/tex] dove [tex]\gamma = \{z \in C | |z|=2\}[/tex].

Scomponendo la frazione [tex]\frac{1}{z^2-1} = \frac{1}{2(z+1)} - \frac{1}{2(z-1)}[/tex] ottengo [tex]\int_{\gamma} \frac{dz}{z^2-1} = \frac{1}{2}\int_{\gamma} \frac{dz}{z+1} - \frac{1}{2}\int_{\gamma} \frac{dz}{z-1}[/tex]

Secondo me, entrambi [tex]\int_{\gamma} \frac{dz}{z+1}[/tex] ed [tex]\int_{\gamma} \frac{dz}{z-1}[/tex] hanno come risultato 1 in quanto, se non vado errata, rappresentano rispettivamente il numero di avvitamento della curva [tex]\gamma[/tex] intorno a "1" ed a "-1". Di conseguenza il risultato finale è "0".

Guardando le soluzioni dell'esercizio, ho visto che il risultato è "0" (e fino a qui è ok) però è una conseguenza del teorema di Cauchy sui dischi.Qualcuno di voi saprebbe spiegarmi perchè?

Io non vedo neanche il perchè avrei dovuto utilizzare il teorema di cachy (e soprattutto a quale funzione applicarlo) ... L'enunciato del teorema comunque è il seguente:

"Sia [tex]\Delta= \{z \in C | |z - c|\leq \rho \}[/tex]. Siano [tex]\{a_1, \dots , a_n\} \in \Delta , n \geq 0[/tex].
Sia f(z) olomorfa in [tex]\Delta \backslash \{a_1, \dots, a_n\}[/tex] e tale che [tex]\lim_{z \rightarrow 0} f(z)*(z-a_j)=0 \ \forall j.[/tex]
Allora [tex]\forall \gamma[/tex] curva chiusa differenziabile a tratti [tex]\gamma \subset \Delta \backslash \{a_1, \dots , a_n\}[/tex] si ha che [tex]\int_{\gamma} f(z) dz =0[/tex]."

Grazie per l'aiuto!
Ciao!

[Lorin1]

e quindi?!

[ciampax]

E quindi credo che ce lo volesse comunicare, così che noi non si provi a calcolarlo!

[Lorin1]

[gugo82]

@Ania82: Vedo che sei nuova: benvenuta.
Ti prego di leggere il regolamento (in particolare, 1.2-1.5 e sezione 3) nonché questo avviso, e di postare nel modo indicato.

Grazie e buona permanenza.

[Ania1234]

scusate... avevo premuto "invia" invece che "anteprima"... ho aggiornato il post con la domanda reale...

[ciampax]

Mah, io avrei detto che era $0$ per il Teorema Integrale di Cauchy, applicato alla funzione costante [tex]$f(z)=1$[/tex]. Infatti la curva $\gamma$ contiene all'interno i punti $z_0=1,\ z_1=-1$, per cui sai che

[tex]$f(z_i)=\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_i}\ dz$[/tex]

e dal momento che il numeratore della funzione integranda è pari a 1....

[Ania1234]

non so se ho ben capito... tu avresti applicato la formula integrale (con [tex]f(z)=1[/tex] ) separatamente ai due integrali [tex]\int_{\gamma}\frac{1}{z+1} dz[/tex] e [tex]\int_{\gamma}\frac{1}{z-1} dz[/tex] e dal momento che la funzione è costante e vale 1 in entrambi i casi alla fine il risultato è zero.
Quello che mi chiedo: è sbagliato ragionare come avevo fatto io per arrivare al risultato? Oppure i ragionamenti sono equivalenti?

[ciampax]

Ovviamente i ragionamenti.... sono equivalenti. Tu hai usato il "Winding Theorem" che, se ci pensi un attimo, ha bisogno della formula integrale di Cauchy per essere applicato.

[gugo82]

Altro modo è il teorema dei residui.

Infatti è:

[tex]$\int_\gamma \frac{1}{z^2-1}\ \text{d} z =2\pi \imath\ \Big\{ \text{Res} \left( \frac{1}{z^2-1} ;-1\right) +\text{Res} \left( \frac{1}{z^2-1} ;1\right) \Big\}$[/tex];

ma dato che la scomposizione in fratti semplici:

[tex]$\frac{1}{z^2-1} =\frac{1}{2}\ \frac{1}{z-1} -\frac{1}{2}\ \frac{1}{z+1}$[/tex]

fornisce lo sviluppo in serie di Laurent dell'integrando sia in [tex]$1$[/tex] che in [tex]$-1$[/tex] (per evidenti motivi), si ha:

[tex]$\text{Res} \left( \frac{1}{z^2-1} ;-1\right) = \frac{1}{2} $[/tex] e [tex]$\text{Res} \left( \frac{1}{z^2-1} ;1\right) =-\frac{1}{2}$[/tex],

quindi l'integrale è nullo.