Integrali ed aree

[Raikton]

1)L'area della porzione di cilindro $y^2 +z^2=1$ , sovrastante il cerchio unitario del piano xy, è :
2)L'integrale di $1/sqrt(x^2 +y^2)$ su {$(x,y):y>=0,x^2 +y^2<=1,x^2 +y^2-2x<=0}$ è:
Allora relativemente a questi esercizi nel primo non so se passare o no in coordinate cilindriche e nel secondo riesco a identificare la zona da integrare ovvero quello spicchietto compreso fra i 2 cerchi con$ y $ positiva e con $ 0

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Risposte

stefansson

18 feb 2014, 11:54

Ciao Raikton!
1) Non credo ti convenga passare in coordinate cilindriche.
Di fatto il volume da trovare, detto $D={(x,y)inR^2|x^2+y^2<=1}$ il disco unitario, è
$\int int_D sqrt(1-y^2)dxdy$
Questo si può risolvere facilmente con Fubini (considerando il dominio semplice rispetto ad x), scrivendolo come
$\int_-1^1(int_{-sqrt(1-y^2)}^{sqrt(1-y^2)} sqrt(1-y^2)dx)dy$
perchè a questo punto, integrando prima in dx, moltiplichi soltanto la funzione per l'ampiezza dell'intervallo (che guarda caso è proprio due volte la funzione) e quindi quando integri poi in dy è scomparsa quella scomoda radice che rendeva complicata l'integrazione.
Lascio a te la risoluzione esplicita ma il risultato dovrebbe essere $8/3$

Per quanto riguarda il secondo esercizio ho un pò di difficoltà riguardo al dominio di integrazione.
Chiamando $E={(x,y)inR^2|y>=0,x^2+y^2<=1,y<=sqrt(3)x}$ e $F$ la parte restante del dominio di integrazione, è facile calcolare (passando in coordinate polari $(r,theta)$)
$\int int_E 1/(sqrt(x^2+y^2))dxdy = int_0^{pi/3}(int_0^1 (1/r)rdr)d theta=pi/3$
Inoltre il dominio $F$ lo puoi considerare semplice rispetto ad y, infatti $F={(x,y)inR^2|0<=x<=1/2,0<=y<=sqrt(1-(x-1^2))}$
e quindi scrivere
$\int int_F 1/(sqrt(x^2+y^2))dxdy = int_0^{1/2}(int_0^{sqrt(1-(x-1^2))}1/(sqrt(x^2+y^2))dy)dx $ ma resta il problema che il primo integrale da fare è comunque complicato.

Provo a pensarci e nel caso mi viene un'idea ti farò sapere !

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[stefansson]

Ciao Raikton!
1) Non credo ti convenga passare in coordinate cilindriche.
Di fatto il volume da trovare, detto $D={(x,y)inR^2|x^2+y^2<=1}$ il disco unitario, è
$\int int_D sqrt(1-y^2)dxdy$
Questo si può risolvere facilmente con Fubini (considerando il dominio semplice rispetto ad x), scrivendolo come
$\int_-1^1(int_{-sqrt(1-y^2)}^{sqrt(1-y^2)} sqrt(1-y^2)dx)dy$
perchè a questo punto, integrando prima in dx, moltiplichi soltanto la funzione per l'ampiezza dell'intervallo (che guarda caso è proprio due volte la funzione) e quindi quando integri poi in dy è scomparsa quella scomoda radice che rendeva complicata l'integrazione.
Lascio a te la risoluzione esplicita ma il risultato dovrebbe essere $8/3$

Per quanto riguarda il secondo esercizio ho un pò di difficoltà riguardo al dominio di integrazione.
Chiamando $E={(x,y)inR^2|y>=0,x^2+y^2<=1,y<=sqrt(3)x}$ e $F$ la parte restante del dominio di integrazione, è facile calcolare (passando in coordinate polari $(r,theta)$)
$\int int_E 1/(sqrt(x^2+y^2))dxdy = int_0^{pi/3}(int_0^1 (1/r)rdr)d theta=pi/3$
Inoltre il dominio $F$ lo puoi considerare semplice rispetto ad y, infatti $F={(x,y)inR^2|0<=x<=1/2,0<=y<=sqrt(1-(x-1^2))}$
e quindi scrivere
$\int int_F 1/(sqrt(x^2+y^2))dxdy = int_0^{1/2}(int_0^{sqrt(1-(x-1^2))}1/(sqrt(x^2+y^2))dy)dx $ ma resta il problema che il primo integrale da fare è comunque complicato.

Provo a pensarci e nel caso mi viene un'idea ti farò sapere !