Integrali e metodo di sostituzione inversa

[stefanofet]

$int x/(3-2*x-x^2)^(3/2) dx$

$int 1/(1+x^2)^3 dx)$

Per sostituzione inversa come si risolvono?
Ho provato ma il risultato che viene a me è leggermente diverso a quello del libro


il primo mi viene $-2/sqrt(x^2+2*x-3)$ mentre per il secondo brancolo nel buio

[Sk_Anonymous]

Non ho la più pallida idea di cosa sia una "sostituzione inversa", MA... il secondo si risolve senza grosse difficoltà (a parte un certo volume di conti!) usando le più classiche sostituzioni iperboliche: poni $x = \sinh t$, sicché $1+x^2 = \cosh^2(t)$ e $dx = \cosh t dt$. Risulta allora $\int \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int \frac{dt}{\cosh^5(t)} $ $= \int \frac{dt}{\cosh^3(t)} - \int \frac{\sinh^2(t)}{\cosh^5(t)} dt$ $= \int \frac{dt}{\cosh(t)} - \int \frac{\sinh^2 t}{\cosh^3(t)} - \int \frac{\sinh^2(t)}{\cosh^5(t)} dt$. In alternativa, puoi pur sempre ricorrere all'analisi complessa: se non altro fa taaanto figo!

[stefanofet]

"HiTLeuLeR":Non ho la più pallida idea di cosa sia una "sostituzione inversa", MA... il secondo si risolve senza grosse difficoltà (a parte un certo volume di conti!) usando le più classiche sostituzioni iperboliche: poni $x = \sinh t$, sicché $1+x^2 = \cosh^2(t)$ e $dx = \cosh t dt$. Risulta allora $\int \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int \frac{dt}{\cosh^5(t)} $ $= \int \frac{dt}{\cosh^3(t)} - \int \frac{\sinh^2(t)}{\cosh^5(t)} dt$ $= \int \frac{dt}{\cosh(t)} - \int \frac{\sinh^2 t}{\cosh^3(t)} - \int \frac{\sinh^2(t)}{\cosh^5(t)} dt$. In alternativa, puoi pur sempre ricorrere all'analisi complessa: se non altro fa taaanto figo!

Grazie, il primo invece mi viene sbagliato, e a voi?

[Sk_Anonymous]

Il primo integrale ha senso in R solo per -3 esso si puo' scrivere cosi:
(1) $L=int x/((-x^2-2x+3)sqrt(-x^2-2x+3))dx $
che si puo' risolvere con la posizione:
$sqrt(-x^2-2x+3)=-(x-1)t$ da cui si ricava successivamente:
$-x^2-2x+3=-(x-1)(x+3)=(x-1)^2t^2 $ e quindi :$x=(t^2-3)/(t^2+1),dx=(8t)/(t^2+1)^2dt$
Ne segue che :
$sqrt(-x^2-2x+3)=-((t^2-3)/(t^2+1)-1)t=(4t)/(t^2+1),-x^2-2x+3=(16t^2)/(t^2+1)^2$
Pertanto sostituendo in (1) si ha:
$L=int (t^2-3)/(t^2+1)*(t^2+1)/(4t)*(t^2+1)^2/(16t^2)*(8t)/(t^2+1)^2dt$
Ovvero :
$L=1/8int(t^2-3)/(t^2)=1/8(t+3/t)+C$
Ora e' :$t=sqrt((x+3)/(1-x)$ e dunque sostituendo ed effettuando qualche calcolo :
$intx/(-x^2-2x+3)^(3/2)dx=(3-x)/(4sqrt(-x^2-2x+3))+C$

Per il secondo integrale,in alternativa alle funzioni iperboliche, si puo' far uso
della seguente formula (ricavabile con due integrazioni per parti):

$int(dx)/(1+x^2)^n=x/(1+x^2)^(n-1)+(2n-3)/(2n-2)int(dx)/(1+x^2)^(n-1)$

Per n=3 (applicando 2 volte la formula) si ottiene:
$int(dx)/(1+x^2)^3=x/(4(1+x^2)^2)+3/(8(1+x^2))+3/8(arctanx)+C$
Archimede

[stefanofet]

"archimede":Il primo integrale ha senso in R solo per -3 esso si puo' scrivere cosi:
(1) $L=int x/((-x^2-2x+3)sqrt(-x^2-2x+3))dx $
che si puo' risolvere con la posizione:
$sqrt(-x^2-2x+3)=-(x-1)t$ da cui si ricava successivamente:
$-x^2-2x+3=-(x-1)(x+3)=(x-1)^2t^2 $ e quindi :$x=(t^2-3)/(t^2+1),dx=(8t)/(t^2+1)^2dt$
Ne segue che :
$sqrt(-x^2-2x+3)=-((t^2-3)/(t^2+1)-1)t=(4t)/(t^2+1),-x^2-2x+3=(16t^2)/(t^2+1)^2$
Pertanto sostituendo in (1) si ha:
$L=int (t^2-3)/(t^2+1)*(t^2+1)/(4t)*(t^2+1)^2/(16t^2)*(8t)/(t^2+1)^2dt$
Ovvero :
$L=1/8int(t^2-3)/(t^2)=1/8(t+3/t)+C$
Ora e' :$t=sqrt((x+3)/(1-x)$ e dunque sostituendo ed effettuando qualche calcolo :
$intx/(-x^2-2x+3)^(3/2)dx=(3-x)/(4sqrt(-x^2-2x+3))+C$

Per il secondo integrale,in alternativa alle funzioni iperboliche, si puo' far uso
della seguente formula (ricavabile con due integrazioni per parti):

$int(dx)/(1+x^2)^n=x/(1+x^2)^(n-1)+(2n-3)/(2n-2)int(dx)/(1+x^2)^(n-1)$

Per n=3 (applicando 2 volte la formula) si ottiene:
$int(dx)/(1+x^2)^3=x/(4(1+x^2)^2)+3/(8(1+x^2))+3/8(arctanx)+C$
Archimede

Ho sbagliato proprio l'impostazione iniziale allora

Thanks!!!!!!