Integrali e metodo dei residui: esercizi con qualche dubbio

[lobacevskij]

Ho iniziato a svolgere un po' di integrali con il metodo dei residui. Se quelli "normali" non mi danno troppi problemi, quando mi trovo di fronte a quelli con uno o più parametri vado leggermente in crisi. Vorrei iniziare postando un esercizio che ho svolto (credo sia corretto), per vedere se questo è il modo giusto di procedere o se invece mi perdo e la tiro più lunga del necessario.

$\int_{0}^{2\pi} (d\theta)/(1-2acos\theta+a^2)$

con la sostituzione $z=e^(i\theta)$ e detta $\Gamma$ la regione delimitata dall circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine del piano complesso, si ha:

$\int_{\Gamma} 1/(1-a(z+1/z)+a^2)(-i/z)dz=i/a\int_{\Gamma} *1/((z-a)(z-1/a))dz$

con $z_0=a$ e $z_0=1/a$ poli del 1° ordine. Detta $f(z)$ la funzione dell'ultimo integrale:

$Res(f(z),a)=\lim_{z \to a}f(z)(z-a)=a/(a^2-1)$
$Res(f(z),1/a)=\lim_{z \to 1/a}f(z)(z-1/a)=a/(1-a^2)$

$\int_{0}^{2\pi} (d\theta)/(1-2acos\theta+a^2)={((2pi)/(a^2-1),per #|a|>1 #text{uso solo il residuo di 1/a}),((2pi)/(1-a^2),per #|a|<1 #text{uso solo il residuo di a}),(text{non calcolabile},per #|a|=1):}$

Il prossimo è invece un integrale, apparentemente innocuo, che mi ha messo in difficoltà:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^(2n) d\theta$

$(sen\theta)^(2n)=((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^(2n)=(e^(i\theta)-e^(-i\theta))^(2n)/((-1)^n4^n)$

e qui, anche passando alla sostituzione $z=e^(i\theta)$, non so come andare avanti. Qualche consiglio?

[foreverkikka]

Ciao!
Come pensavi, il primo esercizio è svolto correttamente.

Per il secondo, sviluppa $(z-1/z)^{2n}$ utilizzando la formula del binomio di Newton

[foreverkikka]

"lobacevskij":

$ (sen\theta)^(2n)=((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^(2n)=(e^(i\theta)-e^(-i\theta))^(2n)/4^n $

Attenzione a quell'ultimo conto, io scriverei :

$ (sen\theta)^(2n)=((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^(2n)=\frac{(e^(i\theta)-e^(-i\theta))^(2n)}{(-1)^n 4^n} $

[lobacevskij]

Si, assolutamente, me lo son perso per strada..

Conosco quella formula ma ne ho ben poca confidenza. In che modo può tornarmi utile?

[foreverkikka]

Ecco qui la formula del binomio di Newton in tutto il suo splendore...

\[
(a+b)^n=
\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le n}}
\binom{n}{k}a^{n-k} b^k
\]

Nel nostro caso otteniamo:

\[
(z-1/z)^{2n}=
\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}}
\binom{2n}{k} z^{2n-k} (-1/z)^k=
\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}}
(-1)^k \binom{2n}{k} z^{2n-2k}
\]

Pertanto, l'integrale che devi calcolare è
\[
\int_{\Gamma} \sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}}
(-1)^k \binom{2n}{k} z^{2n-2k} (-i/z)dz=-i\int_{\Gamma}\sum_{\substack{k\in N \\
0\le k\le 2n}} (-1)^k \binom{2n}{k} z^{2n-2k-1}dz.
\]

L'integrale è lineare, quindi resta da calcolare una somma di integrali. Fortunatamente, uno solo degli addendi della somma è non nullo. Quale? Perché?

[lobacevskij]

Ti ringrazio per la spiegazione, molto chiara.

La conclusione dovrebbe essere che sono nulli tutti gli integrali tranne quello per $n=k$, il cui termine da come residuo $1$. A questo punto, mettendo assieme i vari elementi dovrei avere:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^(2n) d\theta=-i/((-1)^n4^n)\int_{\Gamma}(-1)^n((2n)!)/(n!n!)z^-1dz=(2pi)/4^n((2n)!)/(n!n!)$

[foreverkikka]

Tutto giusto!

[lobacevskij]

Grazie infinite

Detto che sono riuscito a risolvere un bel po' degli integrali parametri che mi creavano problemi, ancora non riesco a risolverne un paio. Uno è questo:

$\int_{0}^{2pi} (sen\theta)^2/(a+bcos\theta) d\theta$ con $a>b>0$

Ho provato con la classica sostituzione $z=e^(i\theta)$ dopo aver espresso le funzioni trigonometriche in termini di esponenziali, ma arrivo a trovare che la funzione ha le singolarità in:

$z_0=0$ (polo 2° ordine), che ricade all'interno della circonferenza $\Gamma$ di raggio unitario centrata nell'origine del p.c.
$z_0=-(a\pmasqrt(1-(b/a)^2))/b$, poli del 1° ordine

Il problema è che ho dei dubbi sul fatto che siano o meno interni a $\Gamma$. Da $a>b>0$ so che il determinante è reale e compreso tra $0$ e $1$, e dunque detta $y$ la sua radice ho che $0b$; quella con il "$-$" è interna/sul bordo solo se $a(1-y)<=b$, e quindi dovrei andare a risolvere la disequazione. Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua e non mi accorgo della semplicità della cosa, ma prima di andare avanti vorrei un vostro parere. Magari sto solo facendo un sacco di conti e non vedo che tutto si può risolvere molto più facilmente.

[foreverkikka]

"lobacevskij":

Da $ a>b>0 $ so che il determinante è reale e compreso tra $ 0 $ e $ 1 $, e dunque detta $ y $ la sua radice ho che $0b $;

Giusto.

Per l'altra domanda...Beh, risolvendo la disequazione di certo non sbagli!
D'altronde, come avevi intuito,mi pare si possa chiudere la faccenda in modo più celere:

$ z_0=-(a-a\sqrt(1-(b/a)^2))/b= - a/b (1- \sqrt(1-(b/a)^2))= -a/b( (1-1+(b/a)^2)/(1+\sqrt(1-(b/a)^2)))$

Si ottiene così:

$(-b/a)/(1+\sqrt(1-(b/a)^2))$

che ha palesemente modulo minore di 1.

In realtà, la forma in cui hai scritto le radici ha allungato i conti. Non raccogliendo la ''a'' e utilizzando lo stesso artificio si perveniva subito alla conclusione.

[lobacevskij]

Grazie, leggo ora il tuo messaggio ed è la conferma di un'analoga intuizione che ho avuto oggi. In pratica ho riscritto l'integrale di partenza in questo modo:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^2/(a+bcos\theta)d\theta=1/a\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^2/(1+kcos\theta)d\theta=i/(2a)\int_{0}^{2\pi} ((z^2-1)^2)/(z^2(kz^2+2z+k))$

con $k=b/a$. Non che tutto questo mi abbia fatto diminuire di molto i conti, ma sono arrivato alla tua stessa conclusione notando che l'unico $z_0$ (oltre al solito $z_0=0$ che non da problemi) interno è:

$(-1+sqrt(1-k^2))/k=(1-(1-k^2))/(-k(1+sqrt(1-k^2)))=-k/(1+sqrt(1-k^2))$

che, come dicevi anche tu, ha modulo minore di $1$. Sono andato anche avanti ed ecco qua i risultati:

$Res(f,0)=-2/k^2$
$Res(f,(-1+sqrt(1-k^2))/k)=(2sqrt(1-k^2))/k$

quest'ultimo calcolato con wolfram, perchè diventava una cosa abbastanza improponibile (o sono io che non vedo delle possibili semplificazioni che me lo renderebbero quantomeno maneggiabile?)
Ad ogni buon conto, passando al calcolo ottengo:

$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^2/(a+bcos\theta)d\theta=i/(2a)(2pii((2sqrt(1-k^2))/k-2/k^2))=((2a)/b^2-(2sqrt(a^2-b^2))/(ab))pi$

Purtroppo facendo varie prove con valori di $a$ e $b$, wolfram mi da risultati diversi da quelli previsti dalla formula. Andando a cercare quella "giusta" (a volersi fidare di wolfram), ho capito che è:

$((2a)/b^2-(2sqrt(a^2-b^2))/(b^2))pi$

che verrebbe giusta se il secondo residuo fosse $(2sqrt(1-k^2))/k^2$. Dando per buoni i conti fatti dal programma, sembra che da qualche parte io perda per strada un fattore $k$, ma anche ricontrollando non sono riuscito a trovare dove sbaglio.

[foreverkikka]

"lobacevskij":
$ Res(f,(-1+sqrt(1-k^2))/k)=(2sqrt(1-k^2))/k $

E' questo che non va.

Io ho calcolato il residuo ed il risultato ottenuto è in accordo con quello di wolfram.
Sia $a$ il punto in cui vogliamo calcolare il residuo. Si tratta di stimare il seguente limite:

$ Res(f(z),a)=\lim_{z \to a}f(z)(z-a)$.

Scrivendo $f(z)$ nella forma $\frac{A(z)}{B(z)}$ con $A(z)$ e $B(z)$ tali che

$A(a)\ne0$ e $B(a)=0$

si ottiene:
$ Res(f(z),a)=\lim_{z \to a}f(z)(z-a)=\lim_{z \to a} \frac{A(z)}{B(z)}(z-a)= \frac{A(a)}{B'(a)}$

Questo trucco semplifica molto i conti. Nel nostro caso, ho preso

$A(z)=((z^2-1)^2)/(z^2) $ e $B(z)=(kz^2+2z+k)$.

Il calcolo di $\frac{A(a)}{B'(a)}$ è risultato agevole, prova!

[lobacevskij]

Conosco il trucco e l'ho applicato solo che...lasciamo perdere...ho allegramento perso di vista il tutto preparandomi a chissà quali conti, e ho preso il denominatore "intero" non avendo l'accortezza di porre la parte del polo del secondo ordine (si insomma $z^2$) nella $A(a)$. E ovviamente più riprovavo e meno mi accorgevo dell'errore

L'altro "doppio parametrico" che mi dava problemi sono riuscito a risolverlo. Ora ne manca solo uno con il parametro all'esponente (voglio però pensarci su prima di chiedere aiuto) e due con la presenza di radici, cosa che non promette bene.

Ad ogni buon conto, grazie infinite per l'aiuto

[lobacevskij]

Andando a vedere come si procede quando si è in presenza di una radice, ossia quando c'è una diramazione, mi sono imbattuto in un esercizio che mi ha lasciato leggermente perplesso nella parte in cui si dimostra che gli integrali fatti lungo due circonferenze tendono a $0$ quando i loro raggi tendono a $0$ (interna) e a $oo$ (esterna).

Il ragionamento è il seguente:

$|\int_{\gamma_r} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_r} |z|^a/(1-|z|)^2 ds_zle2pi(r^(a+1))/(1-r)^2 rarr 0$ per $r rarr 0$

$|\int_{\gamma_R} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_R} |z|^a/(|z|-1)^2 ds_zle2pi(R^(a+1))/(R-1)^2 rarr 0$ per $R rarr oo$

A parte che non mi è del tutto chiaro perchè vadano a cambiare il denominatore, prima di vedere questa dimostrazione io avevo ragionato in questo modo:

$|\int_{\gamma_r} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_r} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{0}^{2pi} r^a/(1+r)^2 rd\theta=2pi(r^(a+1))/(1+r)^2 rarr 0$ per $r rarr 0$
$|\int_{\gamma_R} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 Rd\theta=2pi(R^(a+1))/(1+R)^2 rarr 0$ per $r rarr oo$

Può andare come dimostrazione? Se si, c'è un motivo per cui nelle dispense hanno usato quel ragionamento leggermente diverso?

[foreverkikka]

"lobacevskij":

$\int_{\gamma_r} |z^a/(1+z)^2 dz|$

What does it mean?

"lobacevskij":

$\int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 rd\theta$

Potresti giustificare questa uguaglianza?

[lobacevskij]

Per la spiegazione, nel link c'è l'esercizio svolto (pag. 104), che spiega meglio di quanto potrei fare io perchè si è arrivati a quelle formule. Quanto a quel passaggio, ricorrendo alla forma esponenziale, $z=Re^(i\theta)$, si ha che:

$\int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{\gamma_R} |z|^a/(1+|z|)^2 |dz|=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 Rd\theta=\int_{0}^{2pi} R^(a+1)/(1+R)^2 d\theta$

O almeno questo è quello che avevo pensato, trovando parziale riscontro qui:

http://www1.mat.uniroma1.it/people/lanzara/COMPLESSA0809/DispenseAC.pdf

Insomma, tutto chiaro tranne appunto quella dimostrazione, che per conto mio avevo fatto in modo leggermente diverso.

PS: discorso analogo nel caso dell'integrale lungo $\gamma_r$.
PPS: nel post precedente ho editato la formula in cui c'era $rd\theta$ invece di $Rd\theta$

[foreverkikka]

In primo luogo,il '' what does it mean?'' era riferito alla notazione utilizzata

$ \int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|$

Sul serio, non mi è mai capitato di vederla!

In secundis, il passaggio che ti chiedevo di giustificare è errato perché è falso che il modulo di una somma di numeri complessi è la somma dei moduli.

ES: il modulo di $1+i$ è $\sqrt{2}$ e non $2$.

Il problema della tua dimostrazione è questa uguaglianza :

$ |z^a/(1+z)^2 |=|z|^a/(1+|z|)^2$

Invece, il passaggio che propongono le dispense è esatto in quanto vale la seguente:

$||z|-|w||\le|z-w|$

[lobacevskij]

Ok, mi sa che ho fatto un po' di casino pensano al caso reale (con il $dz$ da mettere fuori, tra l'altro...). Ad ogni buon conto, se tolgo quel passaggio e scrivo:

$|\int_{\gamma_r} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_R} |z|^a/(1+|z|)^2 dz=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 Rd\theta=\int_{0}^{2pi} R^(a+1)/(1+R)^2 d\theta$

la dimostrazione va bene?
Perchè quello che proprio non riesco a capire/giustificare è il cambio al denominatore. O meglio, mi sembra che anche lasciandolo così com'è si arrivi alla dimostrazione che l'integrale tende a $0$ per $R$ che tende a infinito (o per $r$ che tende a $0$ quando uso la sostituzione $z=re^(i\theta)$)

[foreverkikka]

No, non va bene. Hai due frazioni da confrontare, a parità di numeratore é più grande quella con denominatore più piccolo. A me non risulta che sia $|z|+1$$\le |z+1|$.

[lobacevskij]

Ma certo, come ho fatto a non pensarci prima!!

Vista la tua disponibilità e competenza, ne approfitto per chiederti un consiglio su uno degli ultimi due esercizi che mi danno ancora problemi:

$\int_{0}^{+oo} ln(x)/((x-1)sqrt(x)) dx$

Procedendo come nell'esercizio precedente (quello di pag. 104), mi ritroverei con una $f(z)$ che ha uno $z_0$ fuori dalla regione definita da quel percorso, appartenendo infatti al semiasse reale positivo. Sarei tentato di scegliere il cammino che definisce una corona circolare (data dai tratti curvi $|z|=r, Im(z)ge0$, $|z|=R, Im(z)ge0$ e dei segmenti $[-R,-r],[r.R]$), ma non ne sono molto sicuro.

[foreverkikka]

Penso che con il cammino da te proposto non sia possibile far venir fuori l'integrale che ti serve. Io userei il cammino dell'esercizio precedente con alcune modifiche. Dimmi tu quali.

[lobacevskij]

Il cammino "sbagliato" mi lasciava perplesso in quanto la funzione non è pari, quindi non porta all'integrale che devo calcolare, dico bene?
Quanto al cammino "modificato", un'idea potrebbe essere farlo centrato in $z=1$, ma come la si mette con $z=0$? Magari si potrebbe costruire un percorso simile al precedente ma con due archi di circonferenza interni, uno per $z=0$ e uno per $z=1$, ma francamente non so quanto sia una strada percorribile.