Integrali e limiti

[Aletzunny1]

è la prima volta che trovo un esercizio del genere e non so davvero come affontarlo.
La richiesta è: calcolare , giustificando i passaggi,

$lim_(n->+infty) \int_0^(+infty) (arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx)) dx$

l'unica cosa che mi è venuta in mente, ma temo serva a ben poco è sfruttare il fatto che la tangente sia sempre $<=pi/2$ e dunque otterrei

$lim_(n->+infty) \int_0^(+infty) (arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx)) dx <= lim_(n->+infty) \int_0^(+infty) ((pi/2)/(x^(3/2) + nx)) dx$
tuttavia poi non so cosa fare...
Grazie

[gugo82]

Quali teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale conosci?

[Aletzunny1]

Provo a scrivere il mio tentativo ma non so:

$int_0^(+infty) lim_(n->+infty)(arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx)) dx$ per il teorema della convergenza dominata(anche se non ho la funzione $g$ che mi fa da funzione dominante)

Tuttavia ora so che per ipotesi che $x in [0,+infty)$

Se $x=0$ allora $arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx))$ non è neppure definita quindi $x in (0,+infty)$

Se $x>0$ $arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx))<=(pi/2)/(x^(3/2)+nx)->0$ se $n->+infty$

Dunque dovrei integrare tra $0$ e $+infty$ una funzione nulla e dunque il limite iniziale è $0$

Potrebbe andare?
Grazie

[gugo82]

Ale, smetti di ragionare a casaccio per favore.
Prima trovi la funzione dominante e poi applichi decentemente il teorema.

[Aletzunny1]

Ma non sto ragionando a caso! Sono esercizi che non ho mai visto risolvere e un esempio di come si applichi il teorema non l'ho trovato!

Per questo ho chiesto aiuto.
Non so proprio come procedere: la mia idea era : prima trovare il $lim_(n->+infty) arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2)+nx)$, da qui dedurre la funzione dominante e poi però non so come andare avanti.
Grazie

[Aletzunny1]

ho provato a fare questo ragionamento ma più di quì non riesco ad andare avanti, ammettendo poi che almeno questa parte vada bene.

l'integrale è tra $0$ e $+infty$, quindi studio $(arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2)+nx)$ quando fisso $x$.

se $x=0$ allora $(arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2)+nx)$ non esiste.

suppongo quindi $x>0$ allora $(arctan(sqrt(nx))/(x^(3/2)+nx)<=(pi/2)/(x^(3/2)+nx)$

Ma come faccio ora a trovare una funzione dominante non dipendente da $n$ ed integrabile su $(0,+infty)$?

perchè rimango sempre con $(x^(3/2)+nx)$ che non so come eliminare.

Grazie

[Aletzunny1]

proprio nessuno riesce a darmi una mano?

io i miei tentativi (come da regolamento) li ho messi...ma più di questo non riesco

[gugo82]

Il problema è che non guardi quando provi a maggiorare.
Rifletti bene, tanto hai tempo...

[xdom="gugo82"]Il thread era già in prima pagina e non c'era bisogno di uppare, tanto più che è vietato farlo prima di 24h dall'inserimento dell'ultimo post (cfr. Regolamento).

Chiudo e riapro tra 24h.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riapro.[/xdom]

[gugo82]

Le funzioni sotto integrale sono continue e sommabili in $]0,+oo[$, quindi sono integrabili secondo Lebesgue.

Il limite puntuale della successione è la funzione identicamente nulla in $]0,+oo [$, quindi se fosse lecito passare al limite sotto il segno di integrale, il risultato sarebbe $0$.

Visto che lo studio della convergenza uniforme non è semplice, possiamo sperare di sfruttare il teorema di Lebesgue. Per farlo, dobbiamo determinare una funzione sommabile $g$ tale che:

$|(arctan sqrt(nx))/(x^{3/2} + nx)| <= g(x)$

per q.o. $x>0$.
Per $x$ "grandi" (diciamo $>=1$) si abbiamo:

$(arctan sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx) <= pi/(2x^{3/2})$

mentre per $x$ "piccoli" (diciamo tra $0$ ed $1$) abbiamo:

$(arctan sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx) <= (sqrt(nx))/(x^{3/2} + nx)$

(perché?) quindi:

$(arctan sqrt(nx))/(x^(3/2) + nx) <= 1/(sqrt(nx)) <= 1/(sqrt(x))$.

Ne viene che la funzione:

$g(x) := {(1/(sqrt(x)) ,", se " 0=1):}$

maggiora ovunque la tua successione.
Se riesci a stabilire che $g$ è sommabile, sei a cavallo.

[Aletzunny1]

Allora $g(x)$ per come è definita è integrabile su $(0,+infty)$ e dunque si può concludere che il limite vale $0$.

Ciò che non mi è chiaro è... perché scegliere proprio $0=1$ (soprattutto per gli estremi)?


Ho capito che lo scopo è maggiore con funzioni integrabili e indipendenti da $n$...ma ad esempio $02$ perché non andava bene?
Grazie

[gugo82]

"Aletzunny":Ciò che non mi è chiaro è... perché scegliere proprio $0=1$ (soprattutto per gli estremi)?

Ho capito che lo scopo è maggiore con funzioni integrabili e indipendenti da $n$...ma ad esempio $02$ perché non andava bene?

Se leggi attentamente, capisci che la scelta è del tutto arbitraria.
Sarebbero andati bene anche $0< x <= root[37](pi e^sqrt(2))/gamma^127$ ed $x > root[37](pi e^sqrt(2))/gamma^127$ (qui $gamma$ è la costante di Eulero & Mascheroni).

[Aletzunny1]

Perfetto! Grazie mille... proverò a farne altri simili per vedere se ho capito