Integrali e funzione $\Gamma$
mi sono stati assegnati una serie di esercizi del seguente tipo
Derivare le seguenti formule espandendo parte della funzione integranda in serie infinita e giustificando l'integrazione termine a termine
so che non andrebbe fatto,ma per ora ho lasciato stare le giustificazioni teoriche e mi sono dedicata solo alla parte di calcolo
mi sono boccata su un paio di esercizi,anche una sola idea su uno solo di questi è un regalo che mi fate
ESERCIZIO 1
1) $\int_{0}^{1} x^p/(x-1) log(x) dx= \sum_{n=1}^{\infty} 1/(p+n)^2$ con $p>(-1)$
ho espanso il logaritmo,quindi
$\int_{0}^{1} x^p/(x-1) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^(n+1)/n(x-1)^n dx$
$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} ((-1)^(n-1)*(-1)^2)/n(x-1)^(n-1)x^p dx$
$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} 1/n(1-x)^(n-1)x^p dx$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/n \int_{0}^{1} (1-x)^(n-1)x^p dx$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/n (\Gamma(p+1)\Gamma(n))/\(Gamma(n+p+1))$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/n (p!(n-1)!)/((p+n)!)$
e qui basta
ESERCIZIO 2
2)$\int_{0}^{\infty} e^(-sx)\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(x^(2n))/(4^n(n!)^2) dx=1/sqrt(1+s^2)$ con $s>1$
ho fatto
$\int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(x^(2n))/(4^n(n!)^2)e^(-sx) dx$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) \int_{0}^{\infty} x^(2n)e^(-sx) dx$
sostituisco $sx=t$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)\int_{0}^{\infty} x^(2n)e^(-t) dt$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)\Gamma(2n+1)$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)(2n)!$
e oltre a questo non riesco ad andare
AIUTOOOO!!
Derivare le seguenti formule espandendo parte della funzione integranda in serie infinita e giustificando l'integrazione termine a termine
so che non andrebbe fatto,ma per ora ho lasciato stare le giustificazioni teoriche e mi sono dedicata solo alla parte di calcolo
mi sono boccata su un paio di esercizi,anche una sola idea su uno solo di questi è un regalo che mi fate
ESERCIZIO 1
1) $\int_{0}^{1} x^p/(x-1) log(x) dx= \sum_{n=1}^{\infty} 1/(p+n)^2$ con $p>(-1)$
ho espanso il logaritmo,quindi
$\int_{0}^{1} x^p/(x-1) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^(n+1)/n(x-1)^n dx$
$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} ((-1)^(n-1)*(-1)^2)/n(x-1)^(n-1)x^p dx$
$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} 1/n(1-x)^(n-1)x^p dx$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/n \int_{0}^{1} (1-x)^(n-1)x^p dx$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/n (\Gamma(p+1)\Gamma(n))/\(Gamma(n+p+1))$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/n (p!(n-1)!)/((p+n)!)$
e qui basta
ESERCIZIO 2
2)$\int_{0}^{\infty} e^(-sx)\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(x^(2n))/(4^n(n!)^2) dx=1/sqrt(1+s^2)$ con $s>1$
ho fatto
$\int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n(x^(2n))/(4^n(n!)^2)e^(-sx) dx$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) \int_{0}^{\infty} x^(2n)e^(-sx) dx$
sostituisco $sx=t$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)\int_{0}^{\infty} x^(2n)e^(-t) dt$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)\Gamma(2n+1)$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)(2n)!$
e oltre a questo non riesco ad andare
AIUTOOOO!!
Risposte
Per il primo: perché non provi ad espandere $1/{1-x}$ e ad integrare per parti?
grazie,provo e ti faccio sapere
si mi viene grazie 
$\int_{0}^{1} x^p/(x-1) log(x) dx$
$\int_{0}^{1} -x^p log(x)*1/(1-x) dx$
$\int_{0}^{1} -x^p log(x)\sum_{n=0}^{\infty} x^n dx$
$-\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1} x^(p+n) log(x)dx$
$-\sum_{n=0}^{\infty} ([x^(p+n+1)/(p+n+1) log(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x^(p+n)/(p+n+1) dx)$
$-\sum_{n=0}^{\infty} (lim_{x \to 0}[x^(p+n+1)/(p+n+1) log(x)]-[x^(p+n+1)/(p+n+1)^2]_{0}^{1} dx)$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/(p+n+1)^2$
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/(p+n)^2$
davo per scontato che dovesse c'entrare la funzione $\Gamma$ visto che in tutti gli altri esercizi serviva!!
$\int_{0}^{1} x^p/(x-1) log(x) dx$
$\int_{0}^{1} -x^p log(x)*1/(1-x) dx$
$\int_{0}^{1} -x^p log(x)\sum_{n=0}^{\infty} x^n dx$
$-\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1} x^(p+n) log(x)dx$
$-\sum_{n=0}^{\infty} ([x^(p+n+1)/(p+n+1) log(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x^(p+n)/(p+n+1) dx)$
$-\sum_{n=0}^{\infty} (lim_{x \to 0}[x^(p+n+1)/(p+n+1) log(x)]-[x^(p+n+1)/(p+n+1)^2]_{0}^{1} dx)$
$\sum_{n=0}^{\infty} 1/(p+n+1)^2$
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/(p+n)^2$
davo per scontato che dovesse c'entrare la funzione $\Gamma$ visto che in tutti gli altri esercizi serviva!!
Devo dirti che secondo me la seconda presenta qualche errore, perché non mi pare proprio possa venire fuori quella identità, dal momento che, in ogni modo tu la vedi, la $s$ appare al denominatore e non al numeratore (così da fornirti una serie di McLaurin nota)
mmmh,mi pare di aver controllto più volte prima di scrivere,ma darò un'ltro controllo al più presto
Visto che il risultato suggerito per il secondo integrale, mi aspetterei che, integrando per serie, venga fuori una cosa del tipo
$$\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\cdot(2n-1)!!}{n!} s^{2n}$$
che è lo sviluppo di Taylor di quella funzione ($!!$ indica il doppio fattoriale, cioè quello fatto prendendo solo i numeri con la stessa parità di quello di partenza).
Solo che, come vedi anche dal tuo svolgimento (che è corretto) pare che le potenze di $s$ (a proposito, dovresti avere $2n+1$ come esponente) sono a denominatore e non a numeratore come dovrebbe essere. Per cui c'è qualcosa che non torna.
$$\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\cdot(2n-1)!!}{n!} s^{2n}$$
che è lo sviluppo di Taylor di quella funzione ($!!$ indica il doppio fattoriale, cioè quello fatto prendendo solo i numeri con la stessa parità di quello di partenza).
Solo che, come vedi anche dal tuo svolgimento (che è corretto) pare che le potenze di $s$ (a proposito, dovresti avere $2n+1$ come esponente) sono a denominatore e non a numeratore come dovrebbe essere. Per cui c'è qualcosa che non torna.
eh lo so avevo pensato la stessa cosa
comunque l'unico errore che mi sembra aver trovato è nella sostituzione,ma non cambia granche mi sembra
invece che
ottengo
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(2n-1)\int_{0}^{\infty} t^(2n)e^(-t) dt$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(2n-1)(2n)!$
non mi pare di aver trovato altro
comunque l'unico errore che mi sembra aver trovato è nella sostituzione,ma non cambia granche mi sembra
invece che
"Benihime":
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)\int_{0}^{\infty} t^(2n)e^(-t) dt$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(n+1)(2n)!$
ottengo
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(2n-1)\int_{0}^{\infty} t^(2n)e^(-t) dt$
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(4^n(n!)^2) (1/s)^(2n-1)(2n)!$
non mi pare di aver trovato altro
Dunque, guardando un po' in giro, mi sono reso conto che la serie nel secondo integrale rappresenta la funzione di Bessel di primo tipo e ordine zero, $J_0(x)$. Tuttavia non so se hai avuto a che fare con tale tipologia di funzione e, sinceramente, ora come ora, non mi viene in mente come possano essere utilizzate in questo frangente.
sapevo che si trattasse di quella funzione perchè era stata definita per scrivere il testo dell'esercizio,ma a parte questo non ricordo di averla mai utilizzata in alcun modo
Mmmm, ok, ci penso e ti faccio sapere.
EDIT: ho trovato una proprietà che afferma che la trasformata di Laplace della funzione di Bessel $J_0(x)$ è proprio quella cosa che vuoi dimostrare (e in effetti quella è la trasformata di Laplace). Ora cerco di capire da cosa viene fuori.
EDIT: ho trovato una proprietà che afferma che la trasformata di Laplace della funzione di Bessel $J_0(x)$ è proprio quella cosa che vuoi dimostrare (e in effetti quella è la trasformata di Laplace). Ora cerco di capire da cosa viene fuori.
Infatti, ci avevo pensato pure io alla trasformata di Laplace (perché ormai con le Bessel ci ho fatto un po' d'occhio...).
Tuttavia la sostituzione \(sx=u\) fa balzare fuori dei termini bruttini nello sviluppo in serie.
Tuttavia la sostituzione \(sx=u\) fa balzare fuori dei termini bruttini nello sviluppo in serie.
Ma infatti io non credo si debba passare per la sostituzione. Avevo pensato alla possibilità di applicare la trasformata all'equazione differenziale generatrice delle Bessel di primo tipo, ma ad un certo punto mi sono smarrito nei conti... e poi mi sa che non sia la strada "richiesta" (da quel che mi pare di capire, in qualche modo bisogna proprio calcolare, quell'integrale). Mah, io ci penso ancora un po' su, chissà che la notte porti consiglio.
Nono, come non detto... Il conto è sufficientemente semplice (pur essendo palloso assai) e si procede proprio per sostituzione.
Infatti è:
\[
\begin{split}
\int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ x^{2n}\ e^{-sx}\ \text{d} x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ \int_0^\infty x^{2n}\ e^{-sx}\ \text{d} x\\
&\stackrel{sx=u}{=}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ \frac{1}{s^{2n+1}}\ \underbrace{\int_0^\infty u^{2n}\ e^{-u}\ \text{d} u}_{=:\Gamma (2n+1)= (2n)!}\\
&=\frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n)!!\ (2n-1)!!}{2^{2n} (n!)^2}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cancel{2^n}\ \cancel{n!}\ (2n-1)!!}{2^{\cancel{2}n} (n!)^{\cancel{2}}}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n\ n!}\ \frac{1}{s^{2n}}\; ;
\end{split}
\]
d'altro canto si ha:
\[
\begin{split}
(-1)^n\ (2n-1)!! &= (-1)^n\ (2n-1)\cdot (2n-3)\cdot (2n-5)\cdots\ 3\cdot 1\\
&= 2^n\ \left( \frac{1}{2} - n\right)\cdot \left( \frac{3}{2} - n\right)\cdot \left( \frac{5}{2} - n\right)\ \cdots\ \left( -\frac{3}{2} \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\
&= 2^n\ \left( -\frac{1}{2} - n+1\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - n+2\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - n+3\right)\ \cdots\ \left( -\frac{1}{2} -1 \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\
&= 2^n\ \left( -\frac{1}{2} - (n-1)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-2)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-3)\right)\ \cdots\ \left( -\frac{1}{2} -1 \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\
&= 2^n \frac{\left( -\frac{1}{2} - (n-1)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-2)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-3)\right)\ \cdots\ \left( -\frac{1}{2} -1 \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right)}{n!}\ n!\\
&= 2^n\ \binom{-\frac{1}{2}}{n}\ n!
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ x^{2n}\ e^{-sx}\ \text{d} x &= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \cancel{2^n}\ \binom{-\frac{1}{2}}{n}\ \cancel{n!}\ \frac{1}{\cancel{2^n}\ \cancel{n!}}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&=\frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac{1}{2}}{n}\ \left(\frac{1}{s^2}\right)^n\\
&= \frac{1}{s}\ \left( 1+\frac{1}{s^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\
&= \frac{1}{\cancel{s}}\ \frac{\cancel{s}}{\sqrt{s^2+1}}\\
&= \frac{1}{\sqrt{s^2+1}}\; ,
\end{split}
\]
in cui ho usato la serie binomiale.
Infatti è:
\[
\begin{split}
\int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ x^{2n}\ e^{-sx}\ \text{d} x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ \int_0^\infty x^{2n}\ e^{-sx}\ \text{d} x\\
&\stackrel{sx=u}{=}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ \frac{1}{s^{2n+1}}\ \underbrace{\int_0^\infty u^{2n}\ e^{-u}\ \text{d} u}_{=:\Gamma (2n+1)= (2n)!}\\
&=\frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n)!!\ (2n-1)!!}{2^{2n} (n!)^2}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \cancel{2^n}\ \cancel{n!}\ (2n-1)!!}{2^{\cancel{2}n} (n!)^{\cancel{2}}}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n\ n!}\ \frac{1}{s^{2n}}\; ;
\end{split}
\]
d'altro canto si ha:
\[
\begin{split}
(-1)^n\ (2n-1)!! &= (-1)^n\ (2n-1)\cdot (2n-3)\cdot (2n-5)\cdots\ 3\cdot 1\\
&= 2^n\ \left( \frac{1}{2} - n\right)\cdot \left( \frac{3}{2} - n\right)\cdot \left( \frac{5}{2} - n\right)\ \cdots\ \left( -\frac{3}{2} \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\
&= 2^n\ \left( -\frac{1}{2} - n+1\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - n+2\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - n+3\right)\ \cdots\ \left( -\frac{1}{2} -1 \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\
&= 2^n\ \left( -\frac{1}{2} - (n-1)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-2)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-3)\right)\ \cdots\ \left( -\frac{1}{2} -1 \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\
&= 2^n \frac{\left( -\frac{1}{2} - (n-1)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-2)\right)\cdot \left( -\frac{1}{2} - (n-3)\right)\ \cdots\ \left( -\frac{1}{2} -1 \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}\right)}{n!}\ n!\\
&= 2^n\ \binom{-\frac{1}{2}}{n}\ n!
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n (n!)^2}\ x^{2n}\ e^{-sx}\ \text{d} x &= \frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \cancel{2^n}\ \binom{-\frac{1}{2}}{n}\ \cancel{n!}\ \frac{1}{\cancel{2^n}\ \cancel{n!}}\ \frac{1}{s^{2n}}\\
&=\frac{1}{s}\ \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac{1}{2}}{n}\ \left(\frac{1}{s^2}\right)^n\\
&= \frac{1}{s}\ \left( 1+\frac{1}{s^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\
&= \frac{1}{\cancel{s}}\ \frac{\cancel{s}}{\sqrt{s^2+1}}\\
&= \frac{1}{\sqrt{s^2+1}}\; ,
\end{split}
\]
in cui ho usato la serie binomiale.
Ah ecco... e tu lo sai che io il conto lo avevo fatto così (paro paro) tranne l'ultima parte, perché le potenze a denominatore non mi piacevano? 
@ ciampax: Difatti non piacevano nemmeno a me, all'inizio... Poi mi sono detto: ma perché no? 
cavolo grandissimi grazie ..spero solo non mi metta una roba così in esame!
..spero solo non mi metta una roba così in esame!
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