Integrali e continuità
Volevo chiedere una cosa. Esistono funzioni che pur essendo continue non si possono integrare, e funzione che non essendo continue si possono integrare ?
Mi fate qualche esempio? Ho un pò le idee confuse sulla continuità degli integrali. Grazie
Mi fate qualche esempio? Ho un pò le idee confuse sulla continuità degli integrali. Grazie
Risposte
dovresti dire innanzitutto di che cosa stai parlando. Diciamo che ti riferisci ai classici integrali di Riemann e parli di funzioni reali di variabili reali.
dunque si dimostra che tutte le funzioni continue sono integrabili, quindi non troverai una funzione continua che non si può integrare.
per quanto riguarda il viceversa ovvero integrazione di funzioni non continue innanzitutto se si tratta di una discontinuità eliminabile la si elimina e si integra il prolungamento della funzione, altrimenti si devono introdurre nuove nozioni di integrale
dunque si dimostra che tutte le funzioni continue sono integrabili, quindi non troverai una funzione continua che non si può integrare.
per quanto riguarda il viceversa ovvero integrazione di funzioni non continue innanzitutto se si tratta di una discontinuità eliminabile la si elimina e si integra il prolungamento della funzione, altrimenti si devono introdurre nuove nozioni di integrale
La prima credo di no, la seconda sì ma dipende dal tipo di discontinuità. Se una funzione presenta un salto è sempre possibile definire
un'area finita al di sotto di essa quindi è integrabile purchè la funzione sia definita in quel punto.
un'area finita al di sotto di essa quindi è integrabile purchè la funzione sia definita in quel punto.
Capito. E per la discontnuità di tipo salto e quella di seconda specie (limite destro e sinistro non coincidono) si può integrare la funzione ?
Rimanendo nell'ambito dell'integrazione secondo Riemann, vale il seguente risultato:
sia $f:[a,b]\to R$ una funzione limitata. Allora $f$ è Riemann-integrabile in $[a,b]$ se e solo se è continua quasi ovunque in $[a,b]$.
Se ancora non sai cosa vuol dire "quasi ovunque" (è un concetto di teoria della misura), tieni conto che, ad esempio, le ipotesi sono soddisfatte se $f$ è limitata e ha
una quantità al più numerabile di punti di discontinuità.
In particolare, $f$ è certamente Riemann-integrabile se è limitata e ha un numero finito di punti di discontinuità (di qualsiasi tipo).
sia $f:[a,b]\to R$ una funzione limitata. Allora $f$ è Riemann-integrabile in $[a,b]$ se e solo se è continua quasi ovunque in $[a,b]$.
Se ancora non sai cosa vuol dire "quasi ovunque" (è un concetto di teoria della misura), tieni conto che, ad esempio, le ipotesi sono soddisfatte se $f$ è limitata e ha
una quantità al più numerabile di punti di discontinuità.
In particolare, $f$ è certamente Riemann-integrabile se è limitata e ha un numero finito di punti di discontinuità (di qualsiasi tipo).
mmm. Mi puoi fare qualche esempio con qualche funzione ?
Ad esempio, $f(x) = \sin(1/x)$ se $x\ne 0$, $f(0) = 0$, è Riemann-integrabile su $[-1,1]$.
(Il punto $x=0$ è una discontinuità essenziale per la funzione.)
(Il punto $x=0$ è una discontinuità essenziale per la funzione.)
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