Integrali doppi, orizzontalmente o verticalmente convessi
Salve a tutti ragazzi! ho un pò di problemi con degli integrali, vi posto subito l'esercizio e il mio metodo per svolgerlo:
$\int_D x+sen(y^2)dxdy$
dove D è la regione delimitata dalle rette di equazioni $\y = 1, y = x, y = 2x$
ora tracciato il grafico delle funzioni e ricavo la regione D che è un triangolo
[jxg]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[/jxg]
ora cerco di impostare gli integrali, sia orizzontalmente che verticalmente
Oriz.
la x varia tra 0 e 1 , mentre la y tra x e 2x di conseguenza:
$\int_0^1 int_x^(2x) (x+sin(y^2) dydx$
quindi risolvo prima integrando secondo la y e poi secondo la x
Vert.
la y varia tra 0 e 1 , mentre la x tra y/2 e y di conseguenza:
$\int_0^1 int_(y/2)^y (x+sin(y^2) dxdy$
in questo caso integro prima la x e poi la y
Il risultato dovrebbe venire :
$\128/15$
ma non mi viene! Mi dite gentilmente dove ho sbagliato? Ho controllato i calcoli e non mi sembra che ci siano errori, più che altro forse ho sbagliato ad impostare gli integrali iniziali!
$\int_D x+sen(y^2)dxdy$
dove D è la regione delimitata dalle rette di equazioni $\y = 1, y = x, y = 2x$
ora tracciato il grafico delle funzioni e ricavo la regione D che è un triangolo
[jxg]eNrtWm2P0zgQ/rz9FZb220nXJE3TF10U6YAtOul0IOAQfAG5jdvmSOMqSXfTRfz3m7HHjrub7S4C8SLaosXz4rE988zYbhI/vXj2z8WbV0kvfn3x4uVfz/5Jgn4UxJ6hevFc8jJNemdxwTcimclVnkmWZvCvEqtCMlBWEtDIiqUsN7zOZJHEnkuBkO/qtSyBTw1gLeRmI4oaeKYFzKUs6iq7FkkQxZ4l0HqawFiZmgvxzuINb7INEGlSlzsRey2N0ibx+37sNYrYa2KviKssrddJGCmWJpC9FtlqXSehr/hEwXieHpAxGFGmuyoZj2Es1VLrkGWaFbwWQLIzYtCMdFuxVyXMfsnzCtiqrbhVwbekq5o4D1lmqwzdphYRhsN+MJqGQRANwmE4jmhJuKbhaNwfjYJwPJpGYTCIzAI9YwKHuJZyY4wN++PRJBwH0WTg6w6trVsisqX7o6VdkdXGUtQ6F3tHjns9rYc9alHasR1tq6nlqJnzuciNauPo7q0yqaD2ZpfX2d2Gwa9redUYd2vC8vcun2yTQR2/os6KnVThVQOQuh2FaOrq6jMawvXU8d6tNvYFANtRNSpsN01SL62HPRop96bH6s3fwg3K6q2iqY/WxD6XmbjaypJmWMst5P10FERBOJ0MIShyqyW5WNbJ70F/6AcjH9ABIUCOks1lXQMuQBpE/iiaRtiTmEqhVOkT9f1pEIyH02AQeyVlFEymnQI7ozRpcyhu86NJBmpBTC1ooBajglTKqjKu1AQFL4fycv7Yx+9shqaRoWQpr9bkRtVUzK3MoMpg6pGxloGpb2YSz/niw6qUu0IXFxpnRh87DoiWWS4IbOUCEIl/KUCHOdOmjClJhwXJVqTDegSzMkPE2YavRNLv96E2qiZUKcYgEM5smWIBStMMy3FlOJ7DQgauUuQCS3FlsrehaIMTZJ6+FmUF6nqTULVYebXmqqUzBwv5u4/vPr5aZxUDRgUOX+Ag7IoDoxQQ5JRdZfWaqe2necXQXv/TJ51JeiNAa5stOG+ztVSjyIboBqEXRtPRaDgaGqeiV4Ht+xM/CgfDiXEvhJmXerOhhpq6Z+cec5jjpSB0EKEFMOMEiqH6nxYM2PENhhSn5JAWhB9NaK/BJkh7oWZcZlU2z80whtJZWPKFMDY0oTFUl/KD0JgA+Ltk78wC0VFNzn34zGa+b7QpmRE+WbFCOUIW5ZanNABVeXL+aPrk0fgJ+lTRuq+qvOfYyVdZ5VRrvd7zxxP8YjfHAZ47Oyh0yhNO8W090xrE0CpAtyFVJCWKO7QFsC0ElqHlVVLs8hz4VFT/q5YQD/xLCzZVFlt6NbBvAvzB09TSINjVkmgayeHQRqZT5Yty5q3cMcAZK3dFAVFhvGBgQZTsUhthcmmS5uvmy9ifjsYT/5Qvp3z5tvmC+9Cq5Fu9GdM14+l731wrGCXSKhCRTh/W5g9Ty13uCrW/4P3AtrWa1+r9HIANjgLWReyEjjcOYm9DViHPhazBrIblAWYtaH36uMj5jqjFIxjh4w6wBB1gGd0HluYEll8SLIMOsIzvA8vgtxNcfgG4LHjlguWiAyp4i+3ESnPJc7in4Q8q2CLuHtuBuuY53IYUrRbGZv/ZuJr+GLgKH4grOF7C9x5c0WmpG1coDgd34+rwoPVdT1poQv/259ikHwPNSYok9iilL/D2Iq99t4dQqMzd043fI5R2AHbWBdjwGGAVNB8C2OAE1xNcvzJcn3bBdXi8vnbB1e+orwdw9U9wPcH18+G6lfl+Zc97CqrP3/Mu0N51Nb0UJdxzzbmBqNuy4RFZeER2w+bPdyQdPPhI2vEDjQvu2exP+H4BuH+YIyk+WClTYTygsGYxd+Zi7rlvf0+8O9wd8e4I+J0Rvx3yYzG/M+j3Rv0g7DfjfrOoPeQucizyx0N/NPYHwb8n+gfhvxn/GwA4O0QfrJabhz16LWVVtxUNCbuSVqDaZO3QQizSrOZt0CxJdcOBXAf85t3wC07wO8HvG8Bv0Q2/wQl+J/h9Zfjhw3975gPF9mE4aqk3odSDdAgHTFa9HlFLmc85vmDA4nq/Fcm/Ly9eQPSxiTwF3Ue8LDnDJ+FoL2NbUVay4Hl2fQ0nNnuiZHEqqkWZbdXPjMc7MV4DzKGv26WnX9Cwc4orWMKiFqnLxVNUB7vXi+c7oAr1stMAX+ZoyV6sfeT/ga8WKW/FV7Imh2Krp59Gasd45sWy/wFQFp49[/jxg]
ora cerco di impostare gli integrali, sia orizzontalmente che verticalmente
Oriz.
la x varia tra 0 e 1 , mentre la y tra x e 2x di conseguenza:
$\int_0^1 int_x^(2x) (x+sin(y^2) dydx$
quindi risolvo prima integrando secondo la y e poi secondo la x
Vert.
la y varia tra 0 e 1 , mentre la x tra y/2 e y di conseguenza:
$\int_0^1 int_(y/2)^y (x+sin(y^2) dxdy$
in questo caso integro prima la x e poi la y
Il risultato dovrebbe venire :
$\128/15$
ma non mi viene! Mi dite gentilmente dove ho sbagliato? Ho controllato i calcoli e non mi sembra che ci siano errori, più che altro forse ho sbagliato ad impostare gli integrali iniziali!
Risposte
Ciao
premetto subito che non sono molto bravo in queste cose ma io spezzerei il tuo integrale in due parti, ovvero divido la superficie $D$ in due superfici $D_1$ e $D_2$
la superficie $D$ é delimitata da 3 funzioni
$f(x):= y=x$
$g(x):= y=2x$
$h(x):= y=1$
il punto di intersezione tra $g(x)$ e $h(x)$ ha coordinate $(1/2 , 1)$
la superficie $D_1$ alla sinistra della retta verticale é delimitata orizzontalmente da $x=0$ e $x=1/2$ e verticalmente da $y=x$ e $y=2x$
la superficie $D_2$ alla destradella retta verticale é delimitata orizzontalmente da $x=1/2$ e $x=1$ e verticalmente da $y=x$ e $y=1$
la tua funzione da integrare la chiamo $k(x,y)$ solo per semplicitá nel scrivere le formule qui
quindi il tuo integrale io lo vedrei come
[tex]\displaystyle \int_{D} k(x,y) dx dy = \int_{D_{1}} k(x,y) dx dy + \int_{D_{2}} k(x,y) dx dy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{x}^{2x} k(x,y) dx dy + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{x}^{1} k(x,y) dx dy[/tex]
ovviamente ti conviene aspettare che persone piú quotate di me ti diano un aiuto "sicuro" ma non credo di essere sulla cattiva strada
premetto subito che non sono molto bravo in queste cose ma io spezzerei il tuo integrale in due parti, ovvero divido la superficie $D$ in due superfici $D_1$ e $D_2$
la superficie $D$ é delimitata da 3 funzioni
$f(x):= y=x$
$g(x):= y=2x$
$h(x):= y=1$
il punto di intersezione tra $g(x)$ e $h(x)$ ha coordinate $(1/2 , 1)$
la superficie $D_1$ alla sinistra della retta verticale é delimitata orizzontalmente da $x=0$ e $x=1/2$ e verticalmente da $y=x$ e $y=2x$
la superficie $D_2$ alla destradella retta verticale é delimitata orizzontalmente da $x=1/2$ e $x=1$ e verticalmente da $y=x$ e $y=1$
la tua funzione da integrare la chiamo $k(x,y)$ solo per semplicitá nel scrivere le formule qui
quindi il tuo integrale io lo vedrei come
[tex]\displaystyle \int_{D} k(x,y) dx dy = \int_{D_{1}} k(x,y) dx dy + \int_{D_{2}} k(x,y) dx dy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{x}^{2x} k(x,y) dx dy + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{x}^{1} k(x,y) dx dy[/tex]
ovviamente ti conviene aspettare che persone piú quotate di me ti diano un aiuto "sicuro" ma non credo di essere sulla cattiva strada
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo