Integrali doppi e tripli:quale sostituzione?
Mi trovo molto spesso davanti ad integrali doppi e tripli un pò particolari
e mi risulta difficile trovare la sostituzione adatta.
Ad Esempio:
1)Calcolare il seguente integrale doppio di f su E
f(x, y)=1/(x*(y^2))
E = {(x, y) 2x <= y <= 3x, 2x <= 1 , 2x <= 1 - y <= 4x}.
Ho provato con u=y/x v=1/x, ma si perviene solo ad intergali abbastanza obsoleti...
2)Calcolare il seguente integrale triplo di f su E
f(x,y,z)=1/(2-x+y+z)^2
dove E = {(x, y, z) : x >= 0, y <= 0, z <= 0, x - y - z <= 1}.
In questo integrale non se sia più opportuno fare qualche sostituzione
o se si può fare in qualche altro modo...
e mi risulta difficile trovare la sostituzione adatta.
Ad Esempio:
1)Calcolare il seguente integrale doppio di f su E
f(x, y)=1/(x*(y^2))
E = {(x, y) 2x <= y <= 3x, 2x <= 1 , 2x <= 1 - y <= 4x}.
Ho provato con u=y/x v=1/x, ma si perviene solo ad intergali abbastanza obsoleti...
2)Calcolare il seguente integrale triplo di f su E
f(x,y,z)=1/(2-x+y+z)^2
dove E = {(x, y, z) : x >= 0, y <= 0, z <= 0, x - y - z <= 1}.
In questo integrale non se sia più opportuno fare qualche sostituzione
o se si può fare in qualche altro modo...
Risposte
Non li sa fare nessuno questi esercizi? O c'è qualche incomprensione nella forma in cui sono stati scritti?
immagino che nessuno abbia voglia di farli più che altro...non è che siano il max del divertimento!![;)]
cmq il primo va benissimo la sostituzione che hai fatto tu...non capisco che cosa vuol dire che l'integrale è obsoleto...il mio è bellissimo...alla fine fa 1/3...
vuoi anche il procedimento?
E diventa E*={(u,v):2<=u<=3, 2+u<=v<=4+u} che un dominio normale rispetto all'asse u.
il det J(u,v)=1/v^3
quindi l'integrale diventa
integrale doppio su E* di 1/u^2 du dv, adesso sfrutti il fatto che E* è un dominio normale e ti riduci a risolvere 2 integrali singoli, ottenendo per risultato 1/3.
cmq il primo va benissimo la sostituzione che hai fatto tu...non capisco che cosa vuol dire che l'integrale è obsoleto...il mio è bellissimo...alla fine fa 1/3...
vuoi anche il procedimento?
E diventa E*={(u,v):2<=u<=3, 2+u<=v<=4+u} che un dominio normale rispetto all'asse u.
il det J(u,v)=1/v^3
quindi l'integrale diventa
integrale doppio su E* di 1/u^2 du dv, adesso sfrutti il fatto che E* è un dominio normale e ti riduci a risolvere 2 integrali singoli, ottenendo per risultato 1/3.
ah! a proposito... ma il detJ bisogna invertirlo o lo si usa così come sta ?
Sul libro degli esercizi ho notato che lo invertono, non so perchè!
Sulle dispense invece il prof. lo usa così come sta!
Sul libro degli esercizi ho notato che lo invertono, non so perchè!
Sulle dispense invece il prof. lo usa così come sta!
per il 1° esercizio il procedimento che ha postato il "vecchio" è perfetto e il risultato è appunto 1/3.
per il detJ non va invertito,ma bisogna prenderne il modulo(cioè sempre positivo!!)
se ho un po' di tempo provo a fare anche il 2° esercizio.
ale7
per il detJ non va invertito,ma bisogna prenderne il modulo(cioè sempre positivo!!)
se ho un po' di tempo provo a fare anche il 2° esercizio.
ale7
ok grazie mille!!!
beh...dipende quale matrice considera il tuo libro...a seconda di quale usi, il determinante è uno l'inverso dell'altro...mi spiego? se usi il sistema
{x=f(u)
{y=f(v)
allora il determinante della jacopiana è per il "verso giusto", altrimenti devi invertirlo...tutto qui...
{x=f(u)
{y=f(v)
allora il determinante della jacopiana è per il "verso giusto", altrimenti devi invertirlo...tutto qui...
scriviamo le componenti della matrice jacobiana per evitare confusione, come sottolinea giustamente il vecchio!!
io utilizzo sempre:
dx/du;dx/dv
dy/du;dy/dv
e quindi non inverto il detJ.
dove chiaramente il simbolo "d" indica la derivata parziale
ale7
io utilizzo sempre:
dx/du;dx/dv
dy/du;dy/dv
e quindi non inverto il detJ.
dove chiaramente il simbolo "d" indica la derivata parziale
ale7
ok grazie per la info sul determinante! 
Cmq in effetti effettuando quella sostituzione l'integrale che vien fuori è veramente semplice!
Però una domanda: in base a cosa avete pensato di fare questa sostituzione? in teoria io non vedo particolari " indizi " che ci spingono a scegliere quella invece di qualcun'altra...
Cmq in effetti effettuando quella sostituzione l'integrale che vien fuori è veramente semplice!
Però una domanda: in base a cosa avete pensato di fare questa sostituzione? in teoria io non vedo particolari " indizi " che ci spingono a scegliere quella invece di qualcun'altra...
anch'io "litigo" sempre un po' con le sostituzioni!!
a proposito qualche suggerimento per la sostituzione del secondo esercizio postato da kekko84???
comunque bisogna sempre cercare di rendere normale, rispetto ad un asse, il dominio di partenza:
nel 1° esercizio: le rette y=2x, y=3x con la sostituzione indicata diventano u=2, u=3....e il gioco è fatto!! o qusai!!!
ciao!
ale7
a proposito qualche suggerimento per la sostituzione del secondo esercizio postato da kekko84???
comunque bisogna sempre cercare di rendere normale, rispetto ad un asse, il dominio di partenza:
nel 1° esercizio: le rette y=2x, y=3x con la sostituzione indicata diventano u=2, u=3....e il gioco è fatto!! o qusai!!!
ciao!
ale7
vi propongo questo:
f(x,y) = xy^2(log(xy));
dove E = { ... 1 <= x <= 2, 2 <=xy<=3}
ho effettuato la sostituzione: x = 1/v, u = xy ed ho ottenuto:
2 <= u <= 3
1 <= v <= 1/2
Il determinante mi esce qualcosa tipo detJ = 1/v ed il risultato è qualcosa tipo -1/2[9log3 - 3 - 8/3log2 + 8/9 ] o qualcosa del genere, non lo so perchè l'ho calcolato quasi a mente e velocemente... vorrei solo sapere se va bene la sostituzione...
f(x,y) = xy^2(log(xy));
dove E = { ... 1 <= x <= 2, 2 <=xy<=3}
ho effettuato la sostituzione: x = 1/v, u = xy ed ho ottenuto:
2 <= u <= 3
1 <= v <= 1/2
Il determinante mi esce qualcosa tipo detJ = 1/v ed il risultato è qualcosa tipo -1/2[9log3 - 3 - 8/3log2 + 8/9 ] o qualcosa del genere, non lo so perchè l'ho calcolato quasi a mente e velocemente... vorrei solo sapere se va bene la sostituzione...
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