Integrali doppi e momento d'inerzia.

[Lely911]

ciao a tutti, dovrei risolvere il seguente esercizio:
si consideri una lamina coincidente con l'insieme E delimitato da y^2=2x e x=2. assumendo che la densità sia costante e pari a d calcolare il momento d'inerzia rispetto alla retta y=-2.
allora per calcolare il momento d'inerzia io devo moltiplicare d per l'integrale doppio su E di x^2+(y-2)^2, giusto? ho dei problemi con gli estremi di integrazione: x mi varia tra 0 e 2 e y? (non ho soluzione purtroppo)
grazie mille a tutti

[Noisemaker]

Sia\[E:=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2: y^2\le2x, x\le2\}\]
allora
\[I:= \iint_{E}x^2+(y-2)^2\,\,dxdy= \int_{x=0}^{2}\int_{y=-\sqrt{2x}}^{\sqrt{2x}}x^2+(y-2)^2\,\, dxdy\]

[Lely911]

il risultato di questo integrale poi devo moltiplicarlo per d oppure no?

[Noisemaker]

si giusto, l'ho dimenticato! essendo costante esce cmq dall'integrale quindi basta moltiplicare alla fine

[rino6999]

a dire il vero,la distanza al quadrato del punto $P(x_0,y_0)$ dalla retta $y=2$ è $(y_0-2)^2$

[Lely911]

ma nel mio caso ho la retta y= -2.

[rino6999]

scusa,il meno non si vede bene
allora nell'integrale devi mettere solo $(y+2)^2$

[Lely911]

non devo mettere x^2+(y-2)^2? perchè io ho il punto (0,-2) facendo la distanza cioè (x-a)^2+(y-b)^2 ottengo (x-0)^2+(y+2)^2 no?

[rino6999]

bisogna calcolare la distanza dall'asse di rotazione,non da un singolo punto

[Lely911]

hai perfettamente ragione! grazie mille per l'aiuto, gentilissimo!