Integrali doppi e Cauchy
Salve, ho ripreso da poco a studiare matematica 2 e al momento mi ritrovo un pò confuso. Di seguito gli esercizi da me svolti con le relative problematiche:
Integrale doppio
$\int \int (|xy|)/(1+x^4) dydx$
Dove D è il triangolo con vertici (0,0), (1,1), (-1,1)
Mi sono venuti in mente due soluzioni; risolverlo trovandomi il dominio del triangolo o prendendo mezzo triangolo e mettere un 2 davanti l'integrale per la simmetria che c'e. Scriverò i passaggi con entrambi i metodi.
$\int_{-1}^{1}[ int_{x}^{1} (|xy|)/(1+x^4) dy]dx = $
$ = \int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4) [ 1/2 [y^2]_{x}^{1}]dx =$
$= \int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4) [ 1/2 - (x^2)/2]dx = $
$=1/2 \int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4) dx - 1/2 \int_{-1}^{1} (x^3)/(1+x^4) dx = $
$=1/4 \int_{-1}^{1} (2x)/(1+[(x^2)]^2) dx - 1/8 \int_{-1}^{1} (4x^3)/(1+x^4) dx =$
$=1/4 [arctg x^2]_{-1}^{1} - 1/8 [ln (1+x^4)]_{-1}^{1} $
Qui fa 0 il discorso
..... proviamo con la simmetria
$2 [ \int_{0}^{1}[ int_{x}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx = $
$= 2 [ \int_{0}^{1} (x)/(1+x^4)[ int_{x}^{1} y dy]dx = $
$= 2 [\int_{0}^{1} (x)/(1+x^4) [ 1/2 [y^2]_{x}^{1}]dx =$
$= \int_{0}^{1} (x)/(1+x^4) dx - \int_{0}^{1} (x^3)/(1+x^4) dx = $
$= 1/2 \int_{0}^{1} (2x)/(1+[(x^2)]^2) dx - 1/4 \int_{0}^{1} (4x^3)/(1+x^4) dx =$
$=1/2 [arctg x^2]_{0}^{1} - 1/4 [ln (1+x^4)]_{0}^{1} =$
$= 1/2(45-0)-1/4(0.69-0)=22.33$
Qualcosa non torna! sbaglio sicuramente!!! ma cosa?
Problema di Cauchy
nei casi in cui a=-1 e a=0, determinando l'intervallo di definizione della soluzione massimale.
$\{(y'- (xy)/sqrt(1-x^2) = 0),(y(0) = a):}$
$\{(y' = (xy)/sqrt(1-x^2) ),(y(0) = a):}$
Utilizzando la formula delle equazioni a variabili separabili
$ \int 1/y dy = \int (x)/sqrt(1-x^2) dx +c$
Svolgendo il secondo membro per parti non me ne esco più, però ho la sensazione che questo sia un integrale notevole.... che dite?
Integrale doppio
$\int \int (|xy|)/(1+x^4) dydx$
Dove D è il triangolo con vertici (0,0), (1,1), (-1,1)
Mi sono venuti in mente due soluzioni; risolverlo trovandomi il dominio del triangolo o prendendo mezzo triangolo e mettere un 2 davanti l'integrale per la simmetria che c'e. Scriverò i passaggi con entrambi i metodi.
$\int_{-1}^{1}[ int_{x}^{1} (|xy|)/(1+x^4) dy]dx = $
$ = \int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4) [ 1/2 [y^2]_{x}^{1}]dx =$
$= \int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4) [ 1/2 - (x^2)/2]dx = $
$=1/2 \int_{-1}^{1} (x)/(1+x^4) dx - 1/2 \int_{-1}^{1} (x^3)/(1+x^4) dx = $
$=1/4 \int_{-1}^{1} (2x)/(1+[(x^2)]^2) dx - 1/8 \int_{-1}^{1} (4x^3)/(1+x^4) dx =$
$=1/4 [arctg x^2]_{-1}^{1} - 1/8 [ln (1+x^4)]_{-1}^{1} $
Qui fa 0 il discorso
..... proviamo con la simmetria$2 [ \int_{0}^{1}[ int_{x}^{1} (xy)/(1+x^4) dy]dx = $
$= 2 [ \int_{0}^{1} (x)/(1+x^4)[ int_{x}^{1} y dy]dx = $
$= 2 [\int_{0}^{1} (x)/(1+x^4) [ 1/2 [y^2]_{x}^{1}]dx =$
$= \int_{0}^{1} (x)/(1+x^4) dx - \int_{0}^{1} (x^3)/(1+x^4) dx = $
$= 1/2 \int_{0}^{1} (2x)/(1+[(x^2)]^2) dx - 1/4 \int_{0}^{1} (4x^3)/(1+x^4) dx =$
$=1/2 [arctg x^2]_{0}^{1} - 1/4 [ln (1+x^4)]_{0}^{1} =$
$= 1/2(45-0)-1/4(0.69-0)=22.33$
Qualcosa non torna! sbaglio sicuramente!!! ma cosa?
Problema di Cauchy
nei casi in cui a=-1 e a=0, determinando l'intervallo di definizione della soluzione massimale.
$\{(y'- (xy)/sqrt(1-x^2) = 0),(y(0) = a):}$
$\{(y' = (xy)/sqrt(1-x^2) ),(y(0) = a):}$
Utilizzando la formula delle equazioni a variabili separabili
$ \int 1/y dy = \int (x)/sqrt(1-x^2) dx +c$
Svolgendo il secondo membro per parti non me ne esco più, però ho la sensazione che questo sia un integrale notevole.... che dite?
Risposte
premetto che non ho verificato i calcoli numerici, ma nel primo esercizio hai secondo me sbagliato il primo metodo.
Infatti integrando in quel modo è come se avessi considerato il triangolo: (-1, -1) (1,1) (-1, 1), inoltre hai tolto i moduli della funzione integranda con troppa leggerezza.. considerando la simmetria si evita certamente di fare confusione
EDIT: nel secondo esercizio: l' integrale al secondo membro è $sqrt(1 - x^2)$
Infatti integrando in quel modo è come se avessi considerato il triangolo: (-1, -1) (1,1) (-1, 1), inoltre hai tolto i moduli della funzione integranda con troppa leggerezza.. considerando la simmetria si evita certamente di fare confusione
EDIT: nel secondo esercizio: l' integrale al secondo membro è $sqrt(1 - x^2)$
il triangolo che ho preso in considerazione per la simmetria è quello dei vertici (0,0), (0,1) , (1,1). Il ragionamento che ho fatto per svolgere l'integrale è corretto anche se ho considerato il valore assoluto come se non ci fosse poichè xy può essere solo positovo?
su cauchy non ho capito....
su cauchy non ho capito....
forse ci siamo capiti male
io parlavo del primo metodo risolutivo.. il secondo metodo è corretto.
nel secondo esercizio quello che non capivi immagino sia calcolare l' integrale in $dx$.. per quanto riguarda l' integrale in $dy$ è semplicemente un logaritmo..
io parlavo del primo metodo risolutivo.. il secondo metodo è corretto.
nel secondo esercizio quello che non capivi immagino sia calcolare l' integrale in $dx$.. per quanto riguarda l' integrale in $dy$ è semplicemente un logaritmo..
si.... c'e una formula ma forse interpeto male.....
$(f'(x))/ sqrt(1-[f(x)]^2$
$(f'(x))/ sqrt(1-[f(x)]^2$
il discorso relativo alla simmetria è corretto. non sbagli ad integrare, ma a considerare l'angolo in gradi anzichè in radianti, questo è il motivo per cui ti sballa il conto
per il PdC basta che fai la sostituzione $t = sqrt(1-x^2)$, comunque la primitiva è $-sqrt(1-x^2)$
per il PdC basta che fai la sostituzione $t = sqrt(1-x^2)$, comunque la primitiva è $-sqrt(1-x^2)$
Ti riferisci sempre al 2° metodo? se si viene 0.22 considerando arctan in rad....
per cauchy adesso vedo.... grazie
per cauchy adesso vedo.... grazie
svolgendo il PdC sono giunto a queste conclusioni (e qui ci sta errore)
$ln y= sqrt(1-x^2) +c$
$ln a= 1+c$
$c= ln a -1$
Sostituendo a una volta con -1 e una volta con 0 viene
$c=-1 e c=-1$ o sono entrambi non esistenti?
il ln di un numero negativo o di 0 non esite quindi c non esiste? ?.?
$ln y= sqrt(1-x^2) +c$
$ln a= 1+c$
$c= ln a -1$
Sostituendo a una volta con -1 e una volta con 0 viene
$c=-1 e c=-1$ o sono entrambi non esistenti?
il ln di un numero negativo o di 0 non esite quindi c non esiste? ?.?
prova a derivare $sqrt(1-x^2)$
$ (x)/sqrt(1-x^2)$
ma non capisco dove devo arrivare
ma non capisco dove devo arrivare
sbagli sia ad integrare che a derivare
la derivata di
$ sqrt(1-x^2)$ è
$ -(x)/sqrt(1-x^2)$
l'integrale lo faccio per sostituzione e il risultato mi viene quello... se sbaglio qualcosa mi puoi dire dove e come fare?
$ sqrt(1-x^2)$ è
$ -(x)/sqrt(1-x^2)$
l'integrale lo faccio per sostituzione e il risultato mi viene quello... se sbaglio qualcosa mi puoi dire dove e come fare?
ora è giusto, ma se noti, derivando ti trovi un segno - davanti, che integrando non hai considerato invece.
sbagli anche ad integrare 1/y, guardati meglio qual è la sua primitiva, dopodichè tutto dovrebbe quadrarti
sbagli anche ad integrare 1/y, guardati meglio qual è la sua primitiva, dopodichè tutto dovrebbe quadrarti
Non devo derivare, ma devo integrare! infatti giungo alla conclusione che:
$ln y= sqrt(1-x^2) +c$
L'integrale $1/y$ è della formula $f'(x)/f(x))= ln f(x)$, fin qui non penso di aver commesso errori...
$ln a= 1+c$
$c= ln a -1$
$ln y= sqrt(1-x^2) +c$
L'integrale $1/y$ è della formula $f'(x)/f(x))= ln f(x)$, fin qui non penso di aver commesso errori...
$ln a= 1+c$
$c= ln a -1$
1) per verificare se hai integrato correttamente, è buona consuetudine derivare la primitiva che ti sei trovato. e non ti sei ancora accorto che la tua primitiva non è corretta (parlo di quella in x..)
2) la primitiva di 1/y NON è ln(y), altrimenti non ti avrei detto di riguardartela (non per essere scortesi, ma perchè è una cosa che puoi fare autonomamente)
2) la primitiva di 1/y NON è ln(y), altrimenti non ti avrei detto di riguardartela (non per essere scortesi, ma perchè è una cosa che puoi fare autonomamente)
E' stato un errore mio di scrittura. Il risultato è
$ln y= -sqrt(1-x^2) +c$
quindi derivando ottengo la primitiva
mentre per $1/y$ come dicevo se integro mi viene $ln y$ se derivo riottengo $1/y$ ...... forse non ci capiamo
$ln y= -sqrt(1-x^2) +c$
quindi derivando ottengo la primitiva
mentre per $1/y$ come dicevo se integro mi viene $ln y$ se derivo riottengo $1/y$ ...... forse non ci capiamo
nulla di nuovo.... ma ti riferisci che manca +c?
allora devi guardarti la definizione di valore assoluto, perchè sarebbe dovuta saltarti subito all'occhio la differenza con la primitiva che hai scritto tu
mi sa che fai prima a dirmi qualè l'errore
quindi alla fine cosa sbaglio?
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