Integrali Doppi: da coordinate cartesiane a coordinate polari
salve a tutti ho un problema su questo integrale:
$\int int x^2+y^2 dxdy$ .
l’insieme D dato dalla parte di piano comune ai due cerchi di centri (1,0) e (0, 1), entrambi di raggio 1.
ho osservato che l’insieme è simmetrico rispetto alla retta y = x; alla fine sono riuscito ad ottenere che
$0<=$ $\rho$ $>=$ $2cos$ $\theta$
ora ho difficoltà nel determinare il valore di $\theta$ qualcuno potrebbe spiegarmi come procedere perfavore.
$\int int x^2+y^2 dxdy$ .
l’insieme D dato dalla parte di piano comune ai due cerchi di centri (1,0) e (0, 1), entrambi di raggio 1.
ho osservato che l’insieme è simmetrico rispetto alla retta y = x; alla fine sono riuscito ad ottenere che
$0<=$ $\rho$ $>=$ $2cos$ $\theta$
ora ho difficoltà nel determinare il valore di $\theta$ qualcuno potrebbe spiegarmi come procedere perfavore.
Risposte
Quale sistema di coordinate polari stai considerando?
Qual è il polo? Qual è il semiasse polare?
Qual è il polo? Qual è il semiasse polare?
Ciao leon99,
Se $D = {(x,y) \in \RR^2 : (x - 1)^2 + y^2 <= 1, x^2 + (y - 1)^2 <= 1} $ e come sospetto stai facendo uso delle coordinate polari standard con polo nell'origine, occhio che ti stai sbagliando perché il nuovo dominio di integrazione in coordinate polari non è quello che hai scritto, ma è il seguente:
$D' := \Phi^-1(D) = {(\rho, \theta) \in \RR^2 : 0 <= \theta <= \pi/2, 0 <= \rho <= min{2cos\theta, 2sin\theta}} $
Se $D = {(x,y) \in \RR^2 : (x - 1)^2 + y^2 <= 1, x^2 + (y - 1)^2 <= 1} $ e come sospetto stai facendo uso delle coordinate polari standard con polo nell'origine, occhio che ti stai sbagliando perché il nuovo dominio di integrazione in coordinate polari non è quello che hai scritto, ma è il seguente:
$D' := \Phi^-1(D) = {(\rho, \theta) \in \RR^2 : 0 <= \theta <= \pi/2, 0 <= \rho <= min{2cos\theta, 2sin\theta}} $
@pilloeffe: “Sospetto”?
Per rispondere con cognizione, non ti basta sospettare, devi sapere. E l’unico che te lo può dire e lo OP, al quale farebbe meglio cominciare a fare chiarezza nel proprio linguaggio, piuttosto che ricevere una risposta con la soluzione dell’esercizio (o di parte di esso).
Per rispondere con cognizione, non ti basta sospettare, devi sapere. E l’unico che te lo può dire e lo OP, al quale farebbe meglio cominciare a fare chiarezza nel proprio linguaggio, piuttosto che ricevere una risposta con la soluzione dell’esercizio (o di parte di esso).
Ciao gugo82,
Confido sulle mie doti di veggente...
Secondo me è proprio come ho scritto, ma naturalmente sono pronto ad essere smentito dall'OP.
Quanto al resto,
ciò che è sicuramente errato a prescindere dal sistema di coordinate polari scelto, che fra l'altro non credo sia il vero problema dell'OP.
"gugo82":
Per rispondere con cognizione, non ti basta sospettare, devi sapere.
Confido sulle mie doti di veggente...
Secondo me è proprio come ho scritto, ma naturalmente sono pronto ad essere smentito dall'OP.
Quanto al resto,
"leon99":
$0 <= \rho >= 2cos\theta $
ciò che è sicuramente errato a prescindere dal sistema di coordinate polari scelto, che fra l'altro non credo sia il vero problema dell'OP.
@pilloeffe:
[ot]
ciò che è sicuramente errato a prescindere dal sistema di coordinate polari scelto, che fra l'altro non credo sia il vero problema dell'OP.[/quote]
“Credo”, “sospetto”, …
E, ad ogni buon conto, mai asserito che il sistema di coordinate in sé fosse il problema:
[/ot]
[ot]
"pilloeffe":
Quanto al resto,
[quote="leon99"]$ 0 <= \rho >= 2cos\theta $
ciò che è sicuramente errato a prescindere dal sistema di coordinate polari scelto, che fra l'altro non credo sia il vero problema dell'OP.[/quote]
“Credo”, “sospetto”, …
E, ad ogni buon conto, mai asserito che il sistema di coordinate in sé fosse il problema:
"gugo82":
[…] l’unico che te lo può dire e lo OP, al quale farebbe meglio cominciare a fare chiarezza nel proprio linguaggio […]
[/ot]
@gugo82:
[ot]
Mah, veramente
IMHO l'OP ha capito che il dominio $ D $ è nel primo quadrante e quindi che $ 0 <= \theta <= pi/2 $, ma ha sbagliato a scrivere le limitazioni per $ \rho $ e non ha capito come ottenere $ D' $ che gli ho scritto; ma naturalmente è sempre possibile che sbagli a mia volta ed è per questo che attendo fiducioso un suo riscontro in merito...[/ot]
[ot]
"gugo82":
E, ad ogni buon conto, mai asserito che il sistema di coordinate in sé fosse il problema
Mah, veramente
"gugo82":
Quale sistema di coordinate polari stai considerando?
Qual è il polo? Qual è il semiasse polare?
IMHO l'OP ha capito che il dominio $ D $ è nel primo quadrante e quindi che $ 0 <= \theta <= pi/2 $, ma ha sbagliato a scrivere le limitazioni per $ \rho $ e non ha capito come ottenere $ D' $ che gli ho scritto; ma naturalmente è sempre possibile che sbagli a mia volta ed è per questo che attendo fiducioso un suo riscontro in merito...
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