Integrali doppi
ciao ragazzi sto facendo esercizi su integrali doppi, in vista di un esame che avrò tra una settimana circa.
ora i calcoli mi escono nella maggior parte dei casi, ma avevo una domanda: l'esercizio mi suggerisce di valutare eventuali simmetrie, le quali io riesco a trovare, ma di fatto non so come applicarle al calcolo effettivo, qualcuno potrebbe darmi qualche dritta con eventualmente anche un esempio banale ?
Grazie !
ora i calcoli mi escono nella maggior parte dei casi, ma avevo una domanda: l'esercizio mi suggerisce di valutare eventuali simmetrie, le quali io riesco a trovare, ma di fatto non so come applicarle al calcolo effettivo, qualcuno potrebbe darmi qualche dritta con eventualmente anche un esempio banale ?
Grazie !
Risposte
ad esempio se il dominio è simmetrico e la funzione è dispari l'integrale sarà nullo
Attenzione a precisare cosa vuol dire simmetrico, nel piano ci sono diversi tipi di simmetria... ci può essere una simmetria puntuale, o assiale, e le cose cambiano. Ad esempio se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse $y$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(-x,y)$ è $0$. Se invece il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse $x$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(x,-y)$ è $0$. Se infine il dominio di integrazione è simmetrico rispetto al punto $(0,0)$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(-x,-y)$ è $0$.
"Luca.Lussardi":
Attenzione a precisare cosa vuol dire simmetrico, nel piano ci sono diversi tipi di simmetria... ci può essere una simmetria puntuale, o assiale, e le cose cambiano. Ad esempio se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse $y$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(-x,y)$ è $0$. Se invece il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse $x$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(x,-y)$ è $0$. Se infine il dominio di integrazione è simmetrico rispetto al punto $(0,0)$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(-x,-y)$ è $0$.
in effetti è così ma non riuscivo a formalizzarlo bene, spero che sia di aiuto anche per il mio prossimo esame
Salve, volevo chiedere un chiarimento riguardo a questo:
Poco fa ho letto che se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse y allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ è $0$ se $f(-x,y)=-f(x,y)$ , mentre se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse x allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ è $0$ se $f(x,-y)=-f(x,y)$ ! Quale delle due cose è giusta?
"Luca.Lussardi":
Ad esempio se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse $y$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(-x,y)$ è $0$. Se invece il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse $x$ allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ tale per cui $f(x,y)=f(x,-y)$ è $0$.
Poco fa ho letto che se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse y allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ è $0$ se $f(-x,y)=-f(x,y)$ , mentre se il dominio di integrazione è simmetrico rispetto all'asse x allora l'integrale di una funzione $f(x,y)$ è $0$ se $f(x,-y)=-f(x,y)$ ! Quale delle due cose è giusta?
Qualcuno può togliermi questo dubbio.....? (auguri! 
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attendo ancora risposta! grazie in anticipo!
In generale una simmetria è un'applicazione \(S\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) tale che \(S^2\) è l'identità. Vedi facilmente che le applicazioni \(S(x,y) = (-x, y)\), \(S(x,y) = (x, -y)\), \(S(x,y) = (-x, -y)\) (solo per citarne alcune) sono tutte simmetrie.
Diremo che un insieme \(D\subset\mathbb{R}^2\) è \(S\)-simmetrico se \((x,y)\in D\Longleftrightarrow S(x,y)\in D\).
Diremo che una funzione \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) insieme \(S\)-simmetrico, è \(S\)-dispari se \(f(S(x,y)) = - f(x,y)\) per ogni \((x,y)\in D\).
Supponiamo di avere una funzione \(f\) integrabile in un certo dominio \(D\subset\mathbb{R}^2\). Se \(D\) è \(S\)-simmetrico e \(f\) è \(S\)-dispari, allora \(\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = 0\).
Diremo che un insieme \(D\subset\mathbb{R}^2\) è \(S\)-simmetrico se \((x,y)\in D\Longleftrightarrow S(x,y)\in D\).
Diremo che una funzione \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) insieme \(S\)-simmetrico, è \(S\)-dispari se \(f(S(x,y)) = - f(x,y)\) per ogni \((x,y)\in D\).
Supponiamo di avere una funzione \(f\) integrabile in un certo dominio \(D\subset\mathbb{R}^2\). Se \(D\) è \(S\)-simmetrico e \(f\) è \(S\)-dispari, allora \(\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = 0\).
Grazie mille!
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