Integrali Doppi
Ciao a tutti, sono alle prese con gli integrali doppi e volevo chiedervi alcune delucidazioni su degli esercizi che sto svolgendo:
1) Calcolare l'integrale $ int int_(Omega ) (xy)dx dy $
Con $Omega$ poligono OABC di vertici O(0,0) , A(1,1) , B(2,0) , C(1,2)
Dopo averlo rappresentato noto che il triangolo OAC è speculare al triangolo ABC, così considero prima l'integrale sul OAC, definendo $Omega'$ come segue:
$ Omega'= {(x,y)in R^2: 0<= x<= 1 , x<= y<= 2x} $
E' giusto scrivere quanto segue?
$ int int_(Omega) (xy)dx dy =2int int_(Omega')(xy)dxdy=2int_(0)^(1)int_x^(2x)(xy)dxdy=3/4 $
Ho messo direttamente il risultato per non stare a scrivere tutti i passaggi.
Più che altro vorrei sapere se è lecito ragionare solo su un triangolo e poi dire che l'area totale, essendo speculari, è il doppio del risultato dell'integrale sul triangolo OAC.
2)Calcolare $ intint_Omega x^3y^5dxdy $
Con $ Omega={(x,y)in R^2:-1<= x<= 1,-1<= y<= x^2 } $
Anche qui dal grafico vedo che
$ Omega_1={(x,y)in R^2:-1<= x<= 0,-1<= y<= x^2 } $ è speculare a $ Omega_2={(x,y)in R^2:0<= x<= 1,-1<= y<= x^2 } $
E' giusto scrivere, ad esempio:
$ intint_Omega x^3y^5dxdy=2intint_(Omega_1) x^3y^5dxdy=2intint_(Omega_2) x^3y^5dxdy $
Oppure sto facendo parecchia confusione?
Perchè se vado a calcolarlo sul dominio "intero" mi da $0$ mentre se considero il doppio di una delle due aree mi da $1/16$, con segno positivo per la prima e negativa per la seconda...
Più che altro perchè nell'integrazione in una variabile ricordo che se una funzione era negativa in una porzione e positiva in un'altra, tra gli estremi di integrazione, bisognava spezzare l'integrale calcolandone due separati.
Io temo di star facendo confusione, spero possiate aiutarmi.
Grazie in anticipo.
1) Calcolare l'integrale $ int int_(Omega ) (xy)dx dy $
Con $Omega$ poligono OABC di vertici O(0,0) , A(1,1) , B(2,0) , C(1,2)
Dopo averlo rappresentato noto che il triangolo OAC è speculare al triangolo ABC, così considero prima l'integrale sul OAC, definendo $Omega'$ come segue:
$ Omega'= {(x,y)in R^2: 0<= x<= 1 , x<= y<= 2x} $
E' giusto scrivere quanto segue?
$ int int_(Omega) (xy)dx dy =2int int_(Omega')(xy)dxdy=2int_(0)^(1)int_x^(2x)(xy)dxdy=3/4 $
Ho messo direttamente il risultato per non stare a scrivere tutti i passaggi.
Più che altro vorrei sapere se è lecito ragionare solo su un triangolo e poi dire che l'area totale, essendo speculari, è il doppio del risultato dell'integrale sul triangolo OAC.
2)Calcolare $ intint_Omega x^3y^5dxdy $
Con $ Omega={(x,y)in R^2:-1<= x<= 1,-1<= y<= x^2 } $
Anche qui dal grafico vedo che
$ Omega_1={(x,y)in R^2:-1<= x<= 0,-1<= y<= x^2 } $ è speculare a $ Omega_2={(x,y)in R^2:0<= x<= 1,-1<= y<= x^2 } $
E' giusto scrivere, ad esempio:
$ intint_Omega x^3y^5dxdy=2intint_(Omega_1) x^3y^5dxdy=2intint_(Omega_2) x^3y^5dxdy $
Oppure sto facendo parecchia confusione?
Perchè se vado a calcolarlo sul dominio "intero" mi da $0$ mentre se considero il doppio di una delle due aree mi da $1/16$, con segno positivo per la prima e negativa per la seconda...
Più che altro perchè nell'integrazione in una variabile ricordo che se una funzione era negativa in una porzione e positiva in un'altra, tra gli estremi di integrazione, bisognava spezzare l'integrale calcolandone due separati.
Io temo di star facendo confusione, spero possiate aiutarmi.
Grazie in anticipo.
Risposte
1) Il dominio l'hai diviso in due parti speculari ma la funzione non assume gli stessi valori sulle due parti, quindi non puoi raddoppiare l'integrale 
Dovrebbe essere simmetrico rispetto alla retta $x=1$ per poterlo fare.
2) Stesso discorso: andiamo quindi a vedere se c'è una simmetria rispetto alla retta $x=0$. Ci accorgiamo che c'è ma è una simmetria dispari, perciò su una parte del dominio la funzione assumerà valori opposti rispetto a quelli che assume sulla parte speculare. Da questo ricavi direttamente che l'integrale è $0$, senza fare conti. Se fosse stata una simmetria pari, avresti invece potuto raddoppiare il valore dell'integrale.
Non c'è bisogno di spezzare l'intervallo di integrazione se devi calcolare l'integrale di una funzione. Quello si fa se vuoi calcolare l'area sotto al grafico di una funzione. Allora poiché l'integrale di una funzione negativa è negativo, per calcolarne l'area devi prenderne il valore assoluto. In quel caso, quindi, si spezza in intervalli in cui la funzione ha segno costante e si prendono i valori assoluti degli integrali lì calcolati.
Dovrebbe essere simmetrico rispetto alla retta $x=1$ per poterlo fare.2) Stesso discorso: andiamo quindi a vedere se c'è una simmetria rispetto alla retta $x=0$. Ci accorgiamo che c'è ma è una simmetria dispari, perciò su una parte del dominio la funzione assumerà valori opposti rispetto a quelli che assume sulla parte speculare. Da questo ricavi direttamente che l'integrale è $0$, senza fare conti. Se fosse stata una simmetria pari, avresti invece potuto raddoppiare il valore dell'integrale.
Non c'è bisogno di spezzare l'intervallo di integrazione se devi calcolare l'integrale di una funzione. Quello si fa se vuoi calcolare l'area sotto al grafico di una funzione. Allora poiché l'integrale di una funzione negativa è negativo, per calcolarne l'area devi prenderne il valore assoluto. In quel caso, quindi, si spezza in intervalli in cui la funzione ha segno costante e si prendono i valori assoluti degli integrali lì calcolati.
Innanzitutto grazie per la risposta 
1) Ok perfetto. Per trovare il valore totale dell'integrale posso sommare al risultato di prima questo?
$ int int_(Omega_2)xydxdy $
Dove $ Omega=(1<=x<=2,-x+2<=y<=-2x+3) $
In questo modo ho calcolato l'area del primo triangolo con il calcolo del primo post e con quest'altro integrale l'area di ABC. Sommandoli trovo l'area totale giusto?
2) Ok quindi se vedo un simmetria dispari posso direttamente concludere che l'integrale è 0
1) Ok perfetto. Per trovare il valore totale dell'integrale posso sommare al risultato di prima questo?
$ int int_(Omega_2)xydxdy $
Dove $ Omega=(1<=x<=2,-x+2<=y<=-2x+3) $
In questo modo ho calcolato l'area del primo triangolo con il calcolo del primo post e con quest'altro integrale l'area di ABC. Sommandoli trovo l'area totale giusto?
2) Ok quindi se vedo un simmetria dispari posso direttamente concludere che l'integrale è 0
1) Certo, quello puoi sempre farlo per l'additività dell'integrale!
2) Sì. Se invece vedi una simmetria pari, puoi calcolare solo una parte e raddoppiare
2) Sì. Se invece vedi una simmetria pari, puoi calcolare solo una parte e raddoppiare
Grazie ancora per le spiegazioni.
Approfitto della discussione per porre ancora qualche quesito su altri esercizi:
1) Calcolare il momento di inerzia rispetto all'origine di una lastra piana C definita come
$ C={(x,y)in R^2:x^2+y^2<=4, x^2+y^2-x>=0} $
sapendo che la densità $ mu (x,y) $ è uguale alla distanza di $ (x,y) $ dall'origine.
Ok per calcolare il momento di inerzia rispetto all'origine devo sommare i momenti di inerzia rispetto all'asse x e y, in questo modo:
$ I_0=I_x+I_y=int int_(C)y^2mu(x,y) dx dy +int int_(C)x^2mu(x,y) dx dy $
Ma come trovo la densità? Come misuro e cos'è la distanza $ (x,y) $ dall'origine? Son sicuro che è una cavolata.
2) SI consideri la lastra piana di densità unitaria corrispondente al parallelogramma di vertici: $ A(0,6),B(-1,2),C(2,-4),D(3,0) $. Calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse y.
E' corretto se, per comodità, calcolo tre integrali dei momenti di inerzia separati dei triangoli ABO, OCD, AOD, in questo modo: $ int int_(Omega_1) x^2dx dy +intint_(Omega_2)x^2dxdy+intint_(Omega_3)x^2dxdy $
Con: $ Omega_1={(x,y)in R^2:-1<=x<=0 ,-2x<=y<=4x+6} $
$ Omega_2={(x,y)in R^2:0<=x<=3 ,-2x+3<=y<=0} $
$ Omega_3={(x,y)in R^2:0<=x<=3 ,-2x<=y<=4x-4} $
3) I cambi di variabile: finchè si tratta di passare in coordinate polari non ho problemi, basta risolvere qualche sistema di disequazioni, ma quando si tratta di effettuare un cambio senza linee guida non capisco proprio come fare...
Ad esempio: Calcolare $ int_(0)^(1) int_(0)^(1) (x+y)/(1+(x-y)^2)dx dy $
L'esercizio mi consiglia di usare il seguente cambio di variabili: $ x=(u+v)/2;y=(u-v)/2 $
Il determinante dello Jacobiano lo calcolo e viene 1/2, ma non capisco proprio come impostare un cambio di coordinate di questo tipo; nel senso, non mi sarebbe venuto in mente come farlo...
Per non parlare poi di come cambiano gli estremi di integrazioni. Sicuramente il quadrato $ [0,1]xx [0,1] $ ruoterà in qualche modo, ma non saprei dire come...
Grazie per l'aiuto ancora una volta in anticipo, è che sono all'inizio della preparazione dell'esame di Analisi II e voglio cercare di togliermi più dubbi possibili, perchè se ne ho qui non immagino sugli integrali tripli, curve, integrali di superficie etc...
Approfitto della discussione per porre ancora qualche quesito su altri esercizi:
1) Calcolare il momento di inerzia rispetto all'origine di una lastra piana C definita come
$ C={(x,y)in R^2:x^2+y^2<=4, x^2+y^2-x>=0} $
sapendo che la densità $ mu (x,y) $ è uguale alla distanza di $ (x,y) $ dall'origine.
Ok per calcolare il momento di inerzia rispetto all'origine devo sommare i momenti di inerzia rispetto all'asse x e y, in questo modo:
$ I_0=I_x+I_y=int int_(C)y^2mu(x,y) dx dy +int int_(C)x^2mu(x,y) dx dy $
Ma come trovo la densità? Come misuro e cos'è la distanza $ (x,y) $ dall'origine? Son sicuro che è una cavolata.
2) SI consideri la lastra piana di densità unitaria corrispondente al parallelogramma di vertici: $ A(0,6),B(-1,2),C(2,-4),D(3,0) $. Calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse y.
E' corretto se, per comodità, calcolo tre integrali dei momenti di inerzia separati dei triangoli ABO, OCD, AOD, in questo modo: $ int int_(Omega_1) x^2dx dy +intint_(Omega_2)x^2dxdy+intint_(Omega_3)x^2dxdy $
Con: $ Omega_1={(x,y)in R^2:-1<=x<=0 ,-2x<=y<=4x+6} $
$ Omega_2={(x,y)in R^2:0<=x<=3 ,-2x+3<=y<=0} $
$ Omega_3={(x,y)in R^2:0<=x<=3 ,-2x<=y<=4x-4} $
3) I cambi di variabile: finchè si tratta di passare in coordinate polari non ho problemi, basta risolvere qualche sistema di disequazioni, ma quando si tratta di effettuare un cambio senza linee guida non capisco proprio come fare...
Ad esempio: Calcolare $ int_(0)^(1) int_(0)^(1) (x+y)/(1+(x-y)^2)dx dy $
L'esercizio mi consiglia di usare il seguente cambio di variabili: $ x=(u+v)/2;y=(u-v)/2 $
Il determinante dello Jacobiano lo calcolo e viene 1/2, ma non capisco proprio come impostare un cambio di coordinate di questo tipo; nel senso, non mi sarebbe venuto in mente come farlo...
Per non parlare poi di come cambiano gli estremi di integrazioni. Sicuramente il quadrato $ [0,1]xx [0,1] $ ruoterà in qualche modo, ma non saprei dire come...
Grazie per l'aiuto ancora una volta in anticipo, è che sono all'inizio della preparazione dell'esame di Analisi II e voglio cercare di togliermi più dubbi possibili, perchè se ne ho qui non immagino sugli integrali tripli, curve, integrali di superficie etc...
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