Integrali doppi
ho appena iniziato lo studio degli integrali doppi e ho un dubbio sul dominio di integrazione di questo esercizio.
"calcolare l'integrale seguente.
$ int_A (x+y) dxdy $ dove $ A={(x,y)in RR^2 : 2x^3<= y <= 2sqrtx} $ "
pensavo che la x variasse tra $ [0,+oo) $ e la y tra $ [2x^3,2sqrtx] $ e quindi di calcolare $ int_(0)^(+oo)(int_(2x^3)^(2sqrtx)(x+y)dy)dx $ .
è corretto?
"calcolare l'integrale seguente.
$ int_A (x+y) dxdy $ dove $ A={(x,y)in RR^2 : 2x^3<= y <= 2sqrtx} $ "
pensavo che la x variasse tra $ [0,+oo) $ e la y tra $ [2x^3,2sqrtx] $ e quindi di calcolare $ int_(0)^(+oo)(int_(2x^3)^(2sqrtx)(x+y)dy)dx $ .
è corretto?
Risposte
Devi rappresentare il dominio, così tutto è più chiaro 
In questo caso abbiamo due funzioni $y=2x^3$ e $2x^(1/2)$
e il dominio di integrazione è la parte di piano compresa tra le due funzioni.
Calcoliamo le intersezioni tra le curve, si ha facilmente che le due intersezioni sono per $x=0$ e $x=1$.
La riduzione dell'integrale dovrebbe quindi essere
$\int_{0}^{1}dx\int_{2x^3}^{2x^(1/2)} (x+y) dy$
Correggetemi se sbaglio
In questo caso abbiamo due funzioni $y=2x^3$ e $2x^(1/2)$
e il dominio di integrazione è la parte di piano compresa tra le due funzioni.
Calcoliamo le intersezioni tra le curve, si ha facilmente che le due intersezioni sono per $x=0$ e $x=1$.
La riduzione dell'integrale dovrebbe quindi essere
$\int_{0}^{1}dx\int_{2x^3}^{2x^(1/2)} (x+y) dy$
Correggetemi se sbaglio
L'idea è giusta, ma stai sbagliando l'intervallo in cui varia la $x$. Questo perché, quel dominio esiste finché il ramo di parabola sta sopra la cubica: $2\sqrt{x} \geq 2x^3$. Poiché $x \geq 0$, questo è equivalente a $$x \geq x^6 \Leftrightarrow x-x^6 \geq 0 \Leftrightarrow x(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4) \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 1$$
chiarissimo, grazie mille ad entrambi!
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