Integrali dipendenti dai parametri

[Manuk1]

Salve a tutti, non riesco a capire molto bene la dimostrazione di questo teorema. Per completezza vi scrivo tutto il testo.

Sia $sf A in J(RR^n)$ chiuso, sia $sf B sub RR^m$ aperto e sia $f: sf A xx sf B -> RR$ continua. Per ogni $y in sf B$ la funzione $f(*,y)$ risulti continua e quindi integrabile in $sf A$ in modo che risulti definita la funzione:
$ Phi : y in sf B -> Phi (y)= int_A f(*,y) in RR$
Allora:
a) $Phi$ è continua in $sf B$
b) se inoltre per un $i=1,2,...,m$ si ha che $f_(y_i) (x,y)$ è continua in $sf A xx sf B$ allora $Phi$ è derivabile parzialmente rispetto a $y_i$ in $sf B$ e si ha
$Phi_(y_i)(y) = int_A f_(y_i) (*,y)$
in modo che $Phi_(y_i)$ risulta continua in $B$

La dimostrazione del punto a) più o meno l'ho capita, è nell'altra il problema. Provo a scriverla.

b) Sia $y_0 in B$ a sia $delta > 0$ tale che definiamo $S(y_0, delta) = { y in RR^m : |\| y-y_0 |\| <= delta}$ con $S sub B$. Dalla continuità di $f_(y_i) $ in $sf A xx sf B$ risulta che essa è uniformemente continua in $A xx S$ quindi $AA epsilon>0 EE delta_0 < delta$ tale che se la distanza $d{(x,y),(x',y')}< delta_0$ e se $(x,y),(x',y',) in A xx S$ risulta

$| f_(y_i)(x,y) - f_(y_i)(x',y')| < epsilon$ <-- e questo credo venga dalla definizione di continuità uniforme. Da qui in poi non capisco

Ne segue che $AA h in RR$ tale che $0 $|1/h[Phi(y_0 + he_i)- Phi(x,y_0)] - int_A f_(y_i)(x,y_0)dx|= $ <-- questo non so da dove l'ha preso
$=|int_A{1/h[f(y_0 + he_i)- f(x,y_0)] - f_(y_i)(x,y_0)}dx| <=$
$<= int_A |1/h[f(y_0 + he_i)- f(x,y_0)] - f_(y_i)(x,y_0)|dx <=$
$<= int_A | f_(y_i)(x,y_0 +theta_x he_i) - f_(y_i)(x,y_0)|dx <= int_A epsilon = epsilon *m(A)$

dove $theta_x in [0,1]$ e $e_i$ è l'i-esimo elemento della base canonica di $RR^m$
Per l'arbitrarietà di $epsilon$, abbiamo dimostrato che esiste $Phi_(y_i)(y_0)$ e che risulta
$Phi_(y_i)(y_0) = int_A f_(y_i) (x,y_0)dx$
Ma questo da dove è uscito? E poi cosa indica $h$ e perché ad un certo punto scompare e compare un imprecisato $theta_x$?
Scusate l'ignoranza e grazie anticipatamente a chi vorrà aiutarmi

[gugo82]

"Manuk":
b) Sia $y_0 in B$ a sia $delta > 0$ tale che definiamo $S(y_0, delta) = { y in RR^m : |\| y-y_0 |\| <= delta}$ con $S sub B$. Dalla continuità di $f_(y_i) $ in $sf A xx sf B$ risulta che essa è uniformemente continua in $A xx S$ quindi $AA epsilon>0 EE delta_0 < delta$ tale che se la distanza $d{(x,y),(x',y')}< delta_0$ e se $(x,y),(x',y',) in A xx S$ risulta

$| f_(y_i)(x,y) - f_(y_i)(x',y')| < epsilon$ <-- e questo credo venga dalla definizione di continuità uniforme. Da qui in poi non capisco

Ne segue che $AA h in RR$ tale che $0 $|1/h[Phi(y_0 + he_i)- Phi(x,y_0)] - int_A f_(y_i)(x,y_0)dx|= $ <-- questo non so da dove l'ha preso
$=|int_A{1/h[f(y_0 + he_i)- f(x,y_0)] - f_(y_i)(x,y_0)}dx| <=$
$<= int_A |1/h[f(y_0 + he_i)- f(x,y_0)] - f_(y_i)(x,y_0)|dx <=$
$<= int_A | f_(y_i)(x,y_0 +theta_x he_i) - f_(y_i)(x,y_0)|dx <= int_A epsilon = epsilon *m(A)$

dove $theta_x in [0,1]$ e $e_i$ è l'i-esimo elemento della base canonica di $RR^m$
Per l'arbitrarietà di $epsilon$, abbiamo dimostrato che esiste $Phi_(y_i)(y_0)$ e che risulta
$Phi_(y_i)(y_0) = int_A f_(y_i) (x,y_0)dx$
Ma questo da dove è uscito? E poi cosa indica $h$ e perché ad un certo punto scompare e compare un imprecisato $theta_x$?
Scusate l'ignoranza e grazie anticipatamente a chi vorrà aiutarmi

Per la definizione stessa di derivata parziale prima, per dimostrare che $Phi$ è derivabile rispetto all'$i$-esima variabile in $y_0$ devi provare che esiste finito il limite del rapporto incrementale della funzione relativo all'$i$-esima variabile, ossia che esiste finito il:

$lim_(hto 0)(Phi(y_0+h*e_i)-Phi(y_0))/h$

Quindi dimostrare l'uguaglianza:

$(\partial Phi)/(\partial y_i)(y_0)=int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x$

equivale a dimostrare la veridicità della seguente proposizione:

$lim_(hto 0)(Phi(y_0+h*e_i)-Phi(y_0))/h=int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x$

la quale in termini $epsilon-delta$ si riscrive come segue:

(L) $quad AA epsilon>0, exists delta>0: quad AA h in ]-delta,delta[-{0}, |(Phi(y_0+h*e_i)-Phi(y_0))/h-int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x|
Questo è il concetto alla base della dimostrazione.

Passiamo ora alla tecnica dimostrativa: il passaggio che non ti è chiaro è un'applicazione del Teorema di Lagrange per le funzioni di una variabile a derivata continua.
Innanzitutto ricordiamo la definizione di $Phi$

(*) $quad Phi(y)=\int_Af(x,y) " d"y$

con $f$ derivabile parzialmente rispetto ad $y_i$ e con derivata $(\partial f)/(\partial y_i)$ continua; sostituendo al posto di $Phi(y_0)$ e $Phi(y_0+h*e_i)$ le espressioni esplicite ricavate applicando la (*), l'argomento racchiuso nel valore assoluto in (L) possiamo trasformarlo come segue:

$|(Phi(y_0+h*e_i)-Phi(y_0))/h-int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x|=|1/h*(\int_a f(x,y_0+h*e_i)" d"x-\int_A f(x,y_0)" d"x)-int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x|=|\int_a 1/h*[f(x,y_0+h*e_i)- f(x,y_0)]" d"x-int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x|$;

il primo integrando che figura nell'ultimo membro della precedente catena d'uguaglianze, per ogni fissato $x in A$, non è altro che il rapporto incrementale della funzione $y\mapsto f(x,y)$ relativo all'$i$-esima variabile nell'intervallo d'estremi $y_0^i$ ed $y_0^i+h$: poichè la $f$ ha derivata continua rispetto ad $y_i$, il Teorema di Lagrange ci consente di dire che esiste un numero $theta_x in [0,1]$ tale che:

$f_(y_i)(x,y_0+theta_x*h*e_i)=1/h*[f(x,y_0+h*e_i)- f(x,y_0)]$,

(tieni presente che il $theta_x$ è denotato così perchè può non essere sempre lo stesso per ogni $x in A$) quindi possiamo scrivere:

$|(Phi(y_0+h*e_i)-Phi(y_0))/h-int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x|=|\int_a f_(y_i)(x,y_0+theta_x*h*e_i)" d"x-int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x|=|\int_A [f_(y_i)(x,y_0+theta_x*h*e_i)-f_(y_i)(x,y_0)]" d"x|le\int_A |f_(y_i)(x,y_0+theta_x*h*e_i)-f_(y_i)(x,y_0)|" d"x$...

Continuare è facile, perchè, come detto, la funzione $f_(y_i)$ è continua: infatti i due punti $y_0$ ed $y_0+theta_x*h*e_i$ hanno distanza pari a $||y_0-(y_0+theta_x*h*e_i)||=||theta_x*h*e_i||=|theta_x|*|h|*||e_i||=theta_x*|h|$ e, giacché $AA x in A, theta_x<1$, risulta $||y_0-(y_0+theta_x*h*e_i)||le |h|$; fissando $|h|$ abbastanza piccolo è possibile verificare la disuguaglianza:

$|f_(y_i)(x,y_0+theta_x*h*e_i)-f_(y_i)(x,y_0)|
quindi per $|h|$ abbastanza piccolo è:

$|(Phi(y_0+h*e_i)-Phi(y_0))/h-int_A f_(y_i)(x,y_0)" d"x|le\int_A |f_(y_i)(x,y_0+theta_x*h*e_i)-f_(y_i)(x,y_0)|" d"x<\int_A epsilon/("m"(A))" d"x=epsilon$.


Se i dubbi persistono posta ancora.
Buono studio.

[Manuk1]

Beh, grazie mille, davvero una risposta precisa ed esaustiva.
Effettivamente avrei dovuto accorgermi che quello era il limite del rapporto incrementale
Comunque adesso è chiaro tutto anche il ruolo di $theta_x$ che effettivamente mi spiazzava, grazie mille ancora per l'aiuto e per la pazienza!

Ciao

[gugo82]

Prego figurati.