Integrali di variabile complessa

[kniv7s]

Dato

$lim_{R \to \infty}(\int_{-R}^{R} e^(iwt) / (1-it) dt)$

o integrali simili, non capisco nelle soluzioni quando si dice,

"Per w=0, usando la simmetria, si ha:"

$lim_{R \to \infty}(\int_{-R}^{R} 1 / (1-it) dt) = lim_{R \to \infty}(\int_{-R}^{R} (1+it) / (1+t^2) dt) = lim_{R \to \infty}(\int_{-R}^{R} 1 / (1+t^2) dt)$

Cos'è successo nell'ultimo passaggio? Qual è l'argomento specifico di simmetria?

E non mi è chiaro nemmeno l'ultimo passaggio della seguente (con la sostituzione $z = t + iy$):
$|e^(iwz)| = |e^(iw(t+iy))| = |e^(iwt)*e^(-wy)| = e^(-wy)$
è per via di $e^(iwz)=e^(iwt)$ ???

E, nell'integrale dato, non mi è nemmeno chiaro perché abbia valore 0 per w>0.

Grazie!

[Seneca1]

"kniv7s":"Per w=0, usando la simmetria, si ha:"

$lim_{R \to \infty}(\int_{-R}^{R} 1 / (1-it) dt) = lim_{R \to \infty}(\int_{-R}^{R} (1+it) / (1+t^2) dt) = lim_{R \to \infty}(\int_{-R}^{R} 1 / (1+t^2) dt)$

Nulla di strano. \[ \frac{1}{1-it} = \frac{1 + it}{1-it} \frac{1}{(1 + i t)} = \frac{1}{(1 + t^2)} + \underbrace{\frac{it}{ 1 + t^2}}_{\text{dispari}} \]
L'integrale di quella funzione dispari in un intervallo del tipo $[- R , R]$ è $0$.

[_prime_number]

Il passaggio in quella sostituzione è giustificato dal fatto che $e^{i x}$ è sul cerchio unitario se $x$ è reale (cioè ha quindi norma $1$).

Paola

[kniv7s]

Giusto!

Grazie mille!