Integrali di una funzione a tratti
Buonasera a tutti, ho bisogno ancora una volta di una vostra consulenza!
Ho un dubbio, nel caso in cui io debba calcolare l'integrale di una funzione definita a tratti, la quale presenta un punto di discontinuità, quest'ultimo punto mi crea problemi?
Ad esempio, calcolare la primitiva della seguente funzione:
$1+x$ per $0<=x<=2$
$x^2$ per $x>2$
Si può facilmente verificare che la funzione presenta un punto di discontinuità in x=2
Ora mi chiedo, questo punto di discontinuità, mi crea problemi nella normale risoluzione?
Io avrei trovato la primitiva come $(x^3)/3 -8/3 +4$
Grazie in anticipo! Spero la domanda sia chiara!
p.s È possibile che centri in qualche modo il teorema di Torricelli?
Ho un dubbio, nel caso in cui io debba calcolare l'integrale di una funzione definita a tratti, la quale presenta un punto di discontinuità, quest'ultimo punto mi crea problemi?
Ad esempio, calcolare la primitiva della seguente funzione:
$1+x$ per $0<=x<=2$
$x^2$ per $x>2$
Si può facilmente verificare che la funzione presenta un punto di discontinuità in x=2
Ora mi chiedo, questo punto di discontinuità, mi crea problemi nella normale risoluzione?
Io avrei trovato la primitiva come $(x^3)/3 -8/3 +4$
Grazie in anticipo! Spero la domanda sia chiara!
p.s È possibile che centri in qualche modo il teorema di Torricelli?
Risposte
La funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} 1+x &\text{, se } 0\leq x \leq 2 \\ x^2 &\text{, se } x>2\end{cases}
\]
non può avere primitive, nel senso che non può esistere alcuna funzione \(F:[0,+\infty[\to \mathbb{R}\) derivabile in tutto $[0,+\infty[$ tale che \(F^\prime (x) =f(x)\).
Questo perché, per un teoremino di Darboux, le funzioni che sono le derivate di qualche funzione derivabile devono godere della cosiddetta proprietà dei valori intermedi, cioè devono assumere su ogni sottointervallo contenuto nel loro dominio ogni valore compreso tra l'estremo inferiore e l'estremo superiore in quel sottointervallo. La tua $f$ evidentemente non gode di questa proprietà, poiché, essendo strettamente crescente ed avendo una discontinuità a salto, non assume alcun valore compreso in $]2,4[$.
Quello che puoi trovare, al massimo, è una funzione $F:[0,+\infty[\to \mathbb{R}$ continua in tutto $[0,+\infty[$ ma derivabile solo in $[0,2[\cup]2,+\infty[$ tale che $F^\prime (x) = f(x)$ per $x\neq 2$.
Una tale funzione si ottiene calcolando esplicitamente la funzione integrale:
\[
F(x):= \int_0^x f(t)\ \text{d} t
\]
la quale, distinguendo i casi, viene fuori:
\[
F(x) := \begin{cases} \int_0^x (1+t)\ \text{d} t &\text{, se } 0\leq x\leq 2\\
\int_0^2 (1+t)\ \text{ d} t + \int_2^x t^2\ \text{d} t &\text{, se } x>2\; \ldots
\end{cases}
\]
Ma questa non è una primitiva di $f$, poiché non è derivabile in $2$.
\[
f(x) := \begin{cases} 1+x &\text{, se } 0\leq x \leq 2 \\ x^2 &\text{, se } x>2\end{cases}
\]
non può avere primitive, nel senso che non può esistere alcuna funzione \(F:[0,+\infty[\to \mathbb{R}\) derivabile in tutto $[0,+\infty[$ tale che \(F^\prime (x) =f(x)\).
Questo perché, per un teoremino di Darboux, le funzioni che sono le derivate di qualche funzione derivabile devono godere della cosiddetta proprietà dei valori intermedi, cioè devono assumere su ogni sottointervallo contenuto nel loro dominio ogni valore compreso tra l'estremo inferiore e l'estremo superiore in quel sottointervallo. La tua $f$ evidentemente non gode di questa proprietà, poiché, essendo strettamente crescente ed avendo una discontinuità a salto, non assume alcun valore compreso in $]2,4[$.
Quello che puoi trovare, al massimo, è una funzione $F:[0,+\infty[\to \mathbb{R}$ continua in tutto $[0,+\infty[$ ma derivabile solo in $[0,2[\cup]2,+\infty[$ tale che $F^\prime (x) = f(x)$ per $x\neq 2$.
Una tale funzione si ottiene calcolando esplicitamente la funzione integrale:
\[
F(x):= \int_0^x f(t)\ \text{d} t
\]
la quale, distinguendo i casi, viene fuori:
\[
F(x) := \begin{cases} \int_0^x (1+t)\ \text{d} t &\text{, se } 0\leq x\leq 2\\
\int_0^2 (1+t)\ \text{ d} t + \int_2^x t^2\ \text{d} t &\text{, se } x>2\; \ldots
\end{cases}
\]
Ma questa non è una primitiva di $f$, poiché non è derivabile in $2$.
Ciao, grazie per la risposta!
Ho capito ciò che hai detto, ma arrivato al sistema mi perdo!
Ci sono per quanto riguarda il primo integrale da 0 a 2, ma non capisco perché da 2 in poi si debba considerare anche l'integrale da 0 a 2!
Molto più in generale non mi è chiaro come affrontare un problema che mi ponga di calcolare un integrale di una funzione definita a tratti...
Ringrazio in anticipo chiunque abbia voglia di farmi il grandissimo piacere di darmi una mano
Ho capito ciò che hai detto, ma arrivato al sistema mi perdo!
Ci sono per quanto riguarda il primo integrale da 0 a 2, ma non capisco perché da 2 in poi si debba considerare anche l'integrale da 0 a 2!
Molto più in generale non mi è chiaro come affrontare un problema che mi ponga di calcolare un integrale di una funzione definita a tratti...
Ringrazio in anticipo chiunque abbia voglia di farmi il grandissimo piacere di darmi una mano
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