Integrali di superficie in R^3
Mi sono bloccata su questo esercizio, spero in un vostro aiuto:
"Determinare l'area di quella parte di superficie cilindrica di equazione $ x^2+y^2=2ay $ che si trova dentro la sfera di raggio 2a con a>0."
Ora io ho pensato di considerare $ z=(4a^2-x^2-y^2)^(1/2) $ e calcolare l'integrale doppio di $ (1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)^(1/2) $ sulla superficie $ x^2+(y-a)^2<=a^2 $ per poi moltiplicarlo per 2 visto che quando ho scelto z ho considerato solo la semisfera superiore.
Qui mi perdo, se il cilindro avesse il centro in (0,0) non avrei problemi, ma in questo caso non riesco a svolgere l'integrale.
Non so se il procedimento è giusto ma è quello che applico normalmente per calcolare un'area in R^3.
"Determinare l'area di quella parte di superficie cilindrica di equazione $ x^2+y^2=2ay $ che si trova dentro la sfera di raggio 2a con a>0."
Ora io ho pensato di considerare $ z=(4a^2-x^2-y^2)^(1/2) $ e calcolare l'integrale doppio di $ (1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)^(1/2) $ sulla superficie $ x^2+(y-a)^2<=a^2 $ per poi moltiplicarlo per 2 visto che quando ho scelto z ho considerato solo la semisfera superiore.
Qui mi perdo, se il cilindro avesse il centro in (0,0) non avrei problemi, ma in questo caso non riesco a svolgere l'integrale.
Non so se il procedimento è giusto ma è quello che applico normalmente per calcolare un'area in R^3.
Risposte
Ciao elisongalati98,
Benvenuta sul forum!
Si tratta della famosa Finestra di Viviani: la situazione è analoga a quella di questo thread, a parte il fatto che nel tuo caso il cilindro è sull'asse $y$ invece che sull'asse $x$ e non si tratta di un volume, ma di una superficie, ma il calcolo è analogo.
Quindi, posto $D := {(x,y) \in \RR^2 : x^2 + (y - a)^2 \le a^2, x \ge 0} $, si ha:
$S = 4\int\int_D \sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} \cdot \sqrt{1 + x^2/(4a^2 - x^2 - y^2) + y^2/(4a^2 - x^2 - y^2)}\text{d}x \text{d}y $
A questo punto dovresti riuscire a concludere, ma in caso contrario siamo qui...
Benvenuta sul forum!
Si tratta della famosa Finestra di Viviani: la situazione è analoga a quella di questo thread, a parte il fatto che nel tuo caso il cilindro è sull'asse $y$ invece che sull'asse $x$ e non si tratta di un volume, ma di una superficie, ma il calcolo è analogo.
Quindi, posto $D := {(x,y) \in \RR^2 : x^2 + (y - a)^2 \le a^2, x \ge 0} $, si ha:
$S = 4\int\int_D \sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} \cdot \sqrt{1 + x^2/(4a^2 - x^2 - y^2) + y^2/(4a^2 - x^2 - y^2)}\text{d}x \text{d}y $
A questo punto dovresti riuscire a concludere, ma in caso contrario siamo qui...
"elisongalati98":
Qui mi perdo, se il cilindro avesse il centro in (0,0) non avrei problemi, ma in questo caso non riesco a svolgere l'integrale.
Non so se il procedimento è giusto ma è quello che applico normalmente per calcolare un'area in R^3.
Fermi tutti un attimo perche' mi sembra che non avete preso la strada giusta.
Il quesito non chiede di trovare la:
"superficie sferica racchiusa nel cilindro".
Chiede invece la:
"superficie cilindrica racchiusa nella sfera".
Voi siete partiti per la prima delle due strade.
----------------------
Il mio procedimento e' questo:
Qui mi perdo, se il cilindro avesse il centro in (0,0) non avrei problemi, ma in questo caso non riesco a svolgere l'integrale.
In matematica tutte le strategie sono valide, purche' abbiano una base logica e razionale.
Ma in questo caso non c'e' bisogno di chissa' cosa, se l'asse del cilindro non coincide conl'asse $z$, trasliamo l'asse $z$.
L'eq. del cilindro diventa quindi
$x^2+y^2 = a^2$
e la sfera (che va anch'essa traslata) diventa:
$x^2+(y+a)^2+z^2 = 4a^2$.
E dall'eq. della sfera si ricava $z$:
$z = \sqrt(4a^2-(x^2+(y+a)^2))$.
Quindi con $x = a \cos \theta$ e $y = a \sin \theta$ l'integrale da risolvere e':
$2\int_{-\pi}^{\pi} \sqrt(4a^2-(x^2+(y+a)^2)) d\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi} \sqrt(4a^2-((a \cos \theta)^2+(a \sin \theta+a)^2)) d\theta$
L'integrale va ulteriormente semplificato e alla fine un suggerimento per risolvere l'integrale finale e' qui:
https://www.youtube.com/watch?v=UhIYdshr0HQ
Ciao Quinzio,
Mah, in effetti può anche darsi che tu abbia ragione, io mi sono fidato molto del titolo dell'OP e dei conti che ci aveva scritto elisongalati98...
Vediamo se magari ci risponde lei per confermare o smentire: se non ho fatto male i conti il mio integrale risulta $S = 4\pi a^3 $, mentre il tuo $ 16(2 - \sqrt2) a^2 $, per cui se conosce il risultato dell'esercizio si potrà capire subito qual è l'interpretazione giusta.
Per l'integrale che hai proposto nella tua soluzione omettendo la funzione integranda avrei considerato $4\int_0^{\pi} $ e mi pare che tu non abbia considerato $||\gamma'(\theta)|| $, che nel caso specifico si riduce semplicemente ad $a$.
"Quinzio":
Fermi tutti un attimo perche' mi sembra che non avete preso la strada giusta.
Mah, in effetti può anche darsi che tu abbia ragione, io mi sono fidato molto del titolo dell'OP e dei conti che ci aveva scritto elisongalati98...
Vediamo se magari ci risponde lei per confermare o smentire: se non ho fatto male i conti il mio integrale risulta $S = 4\pi a^3 $, mentre il tuo $ 16(2 - \sqrt2) a^2 $, per cui se conosce il risultato dell'esercizio si potrà capire subito qual è l'interpretazione giusta.
Per l'integrale che hai proposto nella tua soluzione omettendo la funzione integranda avrei considerato $4\int_0^{\pi} $ e mi pare che tu non abbia considerato $||\gamma'(\theta)|| $, che nel caso specifico si riduce semplicemente ad $a$.
"pilloeffe":
Ciao Quinzio,
[quote="Quinzio"]Fermi tutti un attimo perche' mi sembra che non avete preso la strada giusta.
Mah, in effetti può anche darsi che tu abbia ragione, io mi sono fidato molto del titolo dell'OP e dei conti che ci aveva scritto elisongalati98...
Vediamo se magari ci risponde lei per confermare o smentire: [/quote]
Ciao !
Io ho letto il testo del problema che dice:
"Determinare l'area di quella parte di superficie cilindrica ...."
Quindi si tratta della superficie del cilindro, non della sfera.
Nulla vieta che come ulteriore esercizio uno si calcoli la porzione di area della sfera, ma temo che alla fine viene un integrale non elementare.
Ciao Quinzio,
Questa non l'ho capita, che cosa intendi?
Per me l'interpretazione può essere la tua ed in tal caso mi risulta che si ha $4\int_0^{\pi} \sqrt(4a^2-((a \cos \theta)^2+(a \sin \theta+a)^2)) a d\theta = 16(2 - \sqrt2) a^2 $
oppure quella che ho scritto io ed in tal caso mi risulta che si ha:
$ S = 4\int_{\Sigma} f \text{d}S = 4\int\int_D \sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} \cdot \sqrt{1 + x^2/(4a^2 - x^2 - y^2) + y^2/(4a^2 - x^2 - y^2)}\text{d}x \text{d}y = 4\pi a^3 $
Dove verrebbe alla fine quell'integrale non elementare di cui hai scritto? Ho sbagliato qualcosa oppure c'è un'altra interpretazione che mi sta sfuggendo?
Dubito comunque che arriveremo ad avere una conferma od una smentita, dato che l'OP non sta più rispondendo...
"Quinzio":
Nulla vieta che come ulteriore esercizio uno si calcoli la porzione di area della sfera, ma temo che alla fine viene un integrale non elementare.
Questa non l'ho capita, che cosa intendi?
Per me l'interpretazione può essere la tua ed in tal caso mi risulta che si ha $4\int_0^{\pi} \sqrt(4a^2-((a \cos \theta)^2+(a \sin \theta+a)^2)) a d\theta = 16(2 - \sqrt2) a^2 $
oppure quella che ho scritto io ed in tal caso mi risulta che si ha:
$ S = 4\int_{\Sigma} f \text{d}S = 4\int\int_D \sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} \cdot \sqrt{1 + x^2/(4a^2 - x^2 - y^2) + y^2/(4a^2 - x^2 - y^2)}\text{d}x \text{d}y = 4\pi a^3 $
Dove verrebbe alla fine quell'integrale non elementare di cui hai scritto? Ho sbagliato qualcosa oppure c'è un'altra interpretazione che mi sta sfuggendo?
Dubito comunque che arriveremo ad avere una conferma od una smentita, dato che l'OP non sta più rispondendo...
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