Integrali di superficie e di f.d in realtà sono definiti come limiti di somme?

[Sk_Anonymous]

Ciao, il mio libro definisce gli integrali di superficie e gli integrali di forme differenziali rispettivamente come particolari integrali doppi e di Riemann. Ma io penso che in realtà questo modo di procedere è solamente dettato da motivi di semplicità. Credo che questi tipi di integrali sono definiti come limiti di sommatorie. Tuttavia, probabilmente il procedimento di costruzione di queste sommatorie è molto complicato e delicato per cui i libri meno avanzati spesso tagliano corto e TRASFORMANO IN DEFINIZIONE QUELLO CHE IN REALTà è UN TEOREMA (e cioé l'uguaglianza tra integrali di superficie e integrali doppi e l'uguaglianza tra integrali di forme differenziali e integrali di Riemann). Voi che ne pensate?

[Emar1]

Se ho ben compreso la domanda: non è che ogni volta devi reinventare la ruota. Una volta che hai definito un integrale in \(\mathbb{R}^n\) (che sia di Riemann o Lebesgue non cambia) definisci un nuovo oggetto, ovvero l'integrale su varietà, dando significato ad una certa espressione in termini di integrale in \(\mathbb{R}^n\). Perchè dovresti ripartire dalle somme (nel caso dell'integrale di Riemann) e mostrare che convergono ad un unico limite? Il lavoro sporco lo hai già fatto.

Altrimenti si ritorna sempre lì, ogni definizione dovrebbe essere scritta facendo riferimento alla teoria degli insiemi (o alla logica) senza considerare il "layer" che hai costruito.