Integrali di superficie assurdi - non adatto ai deboli di cuore
Salve a tutti, sono alle prese con gli integrali di superficie e calcolo di aree superfici, la mia professoressa è famosa per proporre scritti impossibili, perciò vi avverto che la difficoltà molto probabilmente è elevata 
Ovviamente vi allego tutti i miei passaggi affinchè possiate spiegarmi dove si cela l'arcano.
Calcolare l'area della superficie laterale del solido definito da
$G=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+y^2\leq1$, $ 0\leq z\leq 1-arctan(x^2+y^2)}$
il solido è un solido di rotazione che si ottiene ruotando la curva data in $G$ attorno all'asse z, dal momento che il solido è contenuto in un cilindro parametrizzo la superficie con le coordinate cilindriche ponendo
$x=u*cosv$ , $y=u*sinv$ , $z=1-arctan(u^2)$
ottenendo come estremi di integrazione $u\in\[0,1]$, $v\in\[0,2pi]$
il problema giunge quindi quando vado a calcolarmi la norma del versore normale, che mi viene
$(4u^4/(1+u^4)^2+u^2)^(1/2)$ ovviamente posso raccogliere $u^2$ e quindi avere $u$ fuori dalla radice, ma io non riesco a trovare una primitiva di questa funzione, ho provato con sostituzione, per parti, niente, non c'è nulla da fare, ho provato addirittura ad applicare Guldino ma nel calcolo del centro di massa ricado nello stesso integrale...
Altro esercizio alto rischio di schizofrenia
Calcolare l'area della superficie laterale definita dal solido
$G=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2=16$, $ z\geq4-x}$
in questo caso ho una sfera centrara nell'origine e raggio 4 che però nel primo quadrante è stata "affettata" passatemi il termine dal piano $z\geq4-x$
io devo calcolarmi l'area della porzione di superficie che sta sopra al suddetto piano.
con le coordinate sferiche non mi torna comodo perchè non so come trovare gli intervalli di definizione degli angoli colatitudine e longitudine. O uso delle coordinate cilindriche ma anche qui non riesco ad ottenere nulla, oppure, visto che la mia superficie ottenuta è una calotta ho pensato di creare un nuovo sistema di riferimento formato da un asse parallelo al cerchio della sezione tra la sfera ed il piano (la retta $z=-x$, $y=0$), l'asse y e l'asse formato dalla retta $z=x$, $y=0$ e applicare in questo nuovo sistema di riferimento 1)le coordinate polari per calcolare l'area della superficie del cerchio di base e 2) le coordinate cilindriche per l'area della calotta.
1) ottengo $y=ucosv$, $x=-u/\sqrt{2}sinv$, $z=u/\sqrt{2}sinv$ con condizione che $u\in\[0,r]$ e $v\in\[0,2pi]$.
con $r=d/2$, $d=||(0,0,4)-(4,0,0)||$ sarebbe il raggio della base della calotta, ossia $r=\sqrt{32}/2$
(a primo impatto potreste non comprendere da dove abbia ricavato i valori di x e z ma se ci ragionate so che sto nella retta $z=-x$, $y=0$ e che $x\hat{i} +z\hat{k} =ucosv$ quindi per forza per pitagora ottengo quei dati)
ora quindi posso calcolare il primo integrale superficiale ossia quello sull'area di base che ovviamente viene $pir^2$ a dimostrazione che la parametrizzazione è giusta.
2) devo trovare una parametrizzazione per la calotta e qui casca l'asino che sarei io: non mi riesce in quanto dovrei creare la parametrizzazione di una superficie di rivoluzione in un sistema di riferimento non standard e non ne ho assolutamente la minima idea. potete aiutarmi?
rimarrebbe solo da inserire la condizione che i punti sull'asse $z=x$, $y=0$ stiano tra la porzione di spazio che comprende il cerchio di base della calotta (valore ottenibile, non ricordo quanto veniva) e la cima della calotta che è R=4.
dovrei basarmi sul fatto che l'asse che mi da l'altezza della calotta è la retta $z=x$, $y=0$ però davvero non so come procedere sto impazzendo non sapere quanto ho faticato per fare la prima parte.
PS nell'esercizio due non dovrei calcolare l'area della superficie, ma un integrale superficiale su una funzione, ma per semplicità ho messo il testo così, in quanto è gia troppo ostico.
Ringrazio davvero di cuore le buone anime che leggeranno cercando di capire e ancora di più quelle che troveranno il coraggio ed il tempo per rispondere. Rimango in attesa di vostre risposte, Buonanotte
Ovviamente vi allego tutti i miei passaggi affinchè possiate spiegarmi dove si cela l'arcano.
Calcolare l'area della superficie laterale del solido definito da
$G=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+y^2\leq1$, $ 0\leq z\leq 1-arctan(x^2+y^2)}$
il solido è un solido di rotazione che si ottiene ruotando la curva data in $G$ attorno all'asse z, dal momento che il solido è contenuto in un cilindro parametrizzo la superficie con le coordinate cilindriche ponendo
$x=u*cosv$ , $y=u*sinv$ , $z=1-arctan(u^2)$
ottenendo come estremi di integrazione $u\in\[0,1]$, $v\in\[0,2pi]$
il problema giunge quindi quando vado a calcolarmi la norma del versore normale, che mi viene
$(4u^4/(1+u^4)^2+u^2)^(1/2)$ ovviamente posso raccogliere $u^2$ e quindi avere $u$ fuori dalla radice, ma io non riesco a trovare una primitiva di questa funzione, ho provato con sostituzione, per parti, niente, non c'è nulla da fare, ho provato addirittura ad applicare Guldino ma nel calcolo del centro di massa ricado nello stesso integrale...
Altro esercizio alto rischio di schizofrenia
Calcolare l'area della superficie laterale definita dal solido
$G=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2=16$, $ z\geq4-x}$
in questo caso ho una sfera centrara nell'origine e raggio 4 che però nel primo quadrante è stata "affettata" passatemi il termine dal piano $z\geq4-x$
io devo calcolarmi l'area della porzione di superficie che sta sopra al suddetto piano.
con le coordinate sferiche non mi torna comodo perchè non so come trovare gli intervalli di definizione degli angoli colatitudine e longitudine. O uso delle coordinate cilindriche ma anche qui non riesco ad ottenere nulla, oppure, visto che la mia superficie ottenuta è una calotta ho pensato di creare un nuovo sistema di riferimento formato da un asse parallelo al cerchio della sezione tra la sfera ed il piano (la retta $z=-x$, $y=0$), l'asse y e l'asse formato dalla retta $z=x$, $y=0$ e applicare in questo nuovo sistema di riferimento 1)le coordinate polari per calcolare l'area della superficie del cerchio di base e 2) le coordinate cilindriche per l'area della calotta.
1) ottengo $y=ucosv$, $x=-u/\sqrt{2}sinv$, $z=u/\sqrt{2}sinv$ con condizione che $u\in\[0,r]$ e $v\in\[0,2pi]$.
con $r=d/2$, $d=||(0,0,4)-(4,0,0)||$ sarebbe il raggio della base della calotta, ossia $r=\sqrt{32}/2$
(a primo impatto potreste non comprendere da dove abbia ricavato i valori di x e z ma se ci ragionate so che sto nella retta $z=-x$, $y=0$ e che $x\hat{i} +z\hat{k} =ucosv$ quindi per forza per pitagora ottengo quei dati)
ora quindi posso calcolare il primo integrale superficiale ossia quello sull'area di base che ovviamente viene $pir^2$ a dimostrazione che la parametrizzazione è giusta.
2) devo trovare una parametrizzazione per la calotta e qui casca l'asino che sarei io: non mi riesce in quanto dovrei creare la parametrizzazione di una superficie di rivoluzione in un sistema di riferimento non standard e non ne ho assolutamente la minima idea. potete aiutarmi?
rimarrebbe solo da inserire la condizione che i punti sull'asse $z=x$, $y=0$ stiano tra la porzione di spazio che comprende il cerchio di base della calotta (valore ottenibile, non ricordo quanto veniva) e la cima della calotta che è R=4.
dovrei basarmi sul fatto che l'asse che mi da l'altezza della calotta è la retta $z=x$, $y=0$ però davvero non so come procedere sto impazzendo non sapere quanto ho faticato per fare la prima parte.
PS nell'esercizio due non dovrei calcolare l'area della superficie, ma un integrale superficiale su una funzione, ma per semplicità ho messo il testo così, in quanto è gia troppo ostico.
Ringrazio davvero di cuore le buone anime che leggeranno cercando di capire e ancora di più quelle che troveranno il coraggio ed il tempo per rispondere. Rimango in attesa di vostre risposte, Buonanotte
Risposte
Non ho ben capito nel primo esercizio se devi trovare solo la superficie laterale del cilindro o la superficie totale della regione $G$. Beh se è solo la superficie laterale del cilindro basta utilizzare le coordinate cilindriche e per trovare l'intervallo in cui varia $z$ calcolare l'ordinata dei punti d'intersezione tra cilindro e la funzione $z=1-arctg(x^2+y^2)$ che se non sbaglio fa $1-pi/4$ con $\rho=1$. Nel secondo, che era più chiaro, basta notare che l'intersezione del piano con la sfera $x^2+y^2+z^2=16$ forma una calotta sferica, ci calcoliamo la minima distanza del piano dal centro degli assi, ed ora consideriamo la calotta di egual volume centrata con l'asse $z$ quindi passiamo alle coordinate sferiche integrando come al solito.. Ciaooo 
Ciao, non mi è chiara la risposta del primo esercizio, lì il mio problema è che non riesco a trovare una primitiva all'integrale, non nel trovare gli estremi di integrazione, ho sbagliato perfino la parametrizzazione?
PS devo trovare la supericie del solido $G$
Per quanto riguarda il secondo esercizio ci avevo pensato pure io, difatti ho commesso un errore nel dire che l'esercizio consisteva nel calcolare la superficie della calotta, bensì devo calcolare l'integrale superficiale in $G$ della funzione $z^3$ perciò non posso ricorrere a quel metodo (o lo si può fare comunque?)
PS devo trovare la supericie del solido $G$
Per quanto riguarda il secondo esercizio ci avevo pensato pure io, difatti ho commesso un errore nel dire che l'esercizio consisteva nel calcolare la superficie della calotta, bensì devo calcolare l'integrale superficiale in $G$ della funzione $z^3$ perciò non posso ricorrere a quel metodo (o lo si può fare comunque?)
Allora nel primo per calcolare la superficie della regione $G$ puoi anche calcolare la superficie di base, cioè un cerchio, poi quella che ti ho scritto, utilizzando queste coordinate $x=\rhocos\theta,y=\rhosen\theta,z=z, \rho=1, 0\leq\theta\leq2pi, 0\leqz\leq1-pi/4$, infine dovresti calcolare la superficie della funzione $z=1-arctg(x^2+y^2)$ che non è molto semplice, anche io ho trovato delle difficoltà nel risolvere questa parte.
Per il secondo basta adottare le coordinate sferiche, e quindi la funzione $z^3$ la trasformi con quelle e dovrebbe venire una funzione integrabile..Se posso dopo ti scrivo in dettaglio..
Per il secondo basta adottare le coordinate sferiche, e quindi la funzione $z^3$ la trasformi con quelle e dovrebbe venire una funzione integrabile..Se posso dopo ti scrivo in dettaglio..
"Exa20":
Allora nel primo per calcolare la superficie della regione $G$ puoi anche calcolare la superficie di base, cioè un cerchio, poi quella che ti ho scritto, utilizzando queste coordinate $x=\rhocos\theta,y=\rhosen\theta,z=z, \rho=1, 0\leq\theta\leq2pi, 0\leqz\leq1-pi/4$, infine dovresti calcolare la superficie della funzione $z=1-arctg(x^2+y^2)$ che non è molto semplice, anche io ho trovato delle difficoltà nel risolvere questa parte.
Per il secondo basta adottare le coordinate sferiche, e quindi la funzione $z^3$ la trasformi con quelle e dovrebbe venire una funzione integrabile..Se posso dopo ti scrivo in dettaglio..
ok per il primo esercizio la mia idea era identica alla tua, salvo il fatto che non capisco perchè parametrizzi la parte cilindrica con $\rho$, lì il raggio è fisso uguale a 1. se parametrizzi con $\rho$,$\theta$, $z$ hai tre variabili quindi ti verrebbe un integrale triplo, magari ti è sfuggito il $\rho$. poi per l'ultima parte (la campana per intenderci) devo inserire anche la $\rho$ e difatti $z$ lì è in funzione di $\rho$.
PS: la superfiche che devo cacolare è quella laterale del cilindro + quella della campana, non devo considerare l'area di base del cilindro
Nel secondo mi dici di usare le coordinate sferiche e ovviamente sostituire a z il suo valore di parametrizzazione, però se faccio come dici tu di spostare tramite un movimento rigido la calotta e considerarla simmetrica all'asse z, il risultato cambia perché è come se cambiassi dominio alla funzione che devo integrare, un conto è integrare nella calotta in origine un conto in quella con asse z.
Ti faccio un parallelo con gli integrali curvilinei per spiegarmi meglio
Se devo calcolare la lunghezza di una curva (analogo dell'area di una superficie), se sposto con un movimento rigido la curva (la superficie), la lunghezza rimane uguale (l'area della superficie rimane uguale), mentre se devo calcolare un integrale curvilineo (integrale superficiale) di una funzione, se applico un movimento rigido alla curva(superficie) l'integrale non viene uguale.
Allora per il primo esercizio se vedi meglio nella mia ultima parametrizzazione circa a metà avevo specificato $\rho=1$ senno certo che non va bene. Nel secondo ho scritto di utilizzare le sferiche ma senza rotazione visto che come hai notato anche tu sarebbe come modificare un pò tutto. Il problema che salta fuori nel non poter ruotare la calotta sferica è nel dover impostare un parametro in funzione dell'altro. In poche parole se facciamo variare in questo modo uno degli angoli $0\leq\phi\leqpi/2$ nel passare da un estremo all'altro l'ampiezza che deve descrivere l'altro varia. Questa è la mia idea ma non sono riuscito a trovare la dipendenza tra gli angoli..Mi dispiace, Ci sarebbe la possibilità di avere un qualche tipo di risultato??
scusa ma l'occhio non aveva visto il $\rho=1$ 
comunque ho riletto ora il testo e... la mia superficie non è una calotta chiusa, non c'è l'area di base del cerchio ma la sola superficie sferica, perciò quando scrivo le coordinale cilindriche so che
$z=(16-\rho^2)^(1/2)$
se vado a sostituire questa cosa alla condizione del piano ottengo che $z=(16-\rho^2)^(1/2)\geq4-\rho cos\theta$
cioè $16-\rho^2\geq16+\rho^2 cos^2\theta-8\rhocos\theta$
ossia $\rho(\rho(1+cos^2\theta)-8cos\theta)\leq0$
quindi $(\rho(1+cos^2\theta)-8cos\theta)\leq0$
perciò $\rho\leq 8cos\theta/(1+cos^2\theta)$
dunque $\theta$ varia in $[-pi/4,pi/4]$ mentre $\rho$ varia in $[0,8cos\theta/(1+cos^2\theta)]$
molto probabilmente ho sbagliato qualcosa perchè mi sembra strano che venga semplicemente così, correggimi ti prego
comunque ho riletto ora il testo e... la mia superficie non è una calotta chiusa, non c'è l'area di base del cerchio ma la sola superficie sferica, perciò quando scrivo le coordinale cilindriche so che
$z=(16-\rho^2)^(1/2)$
se vado a sostituire questa cosa alla condizione del piano ottengo che $z=(16-\rho^2)^(1/2)\geq4-\rho cos\theta$
cioè $16-\rho^2\geq16+\rho^2 cos^2\theta-8\rhocos\theta$
ossia $\rho(\rho(1+cos^2\theta)-8cos\theta)\leq0$
quindi $(\rho(1+cos^2\theta)-8cos\theta)\leq0$
perciò $\rho\leq 8cos\theta/(1+cos^2\theta)$
dunque $\theta$ varia in $[-pi/4,pi/4]$ mentre $\rho$ varia in $[0,8cos\theta/(1+cos^2\theta)]$
molto probabilmente ho sbagliato qualcosa perchè mi sembra strano che venga semplicemente così, correggimi ti prego
Come ragionamento sembra filare soltanto che ora mi è venuta voglia di calcolarlo quindi ora mi ci metto e ti faccio sapere che ne esce fuori. Se gia ci hai provato dimmi il tuo risultato
Sempre sperando che il mio precedente messaggio sia giusto quando vado a fare la parametrizzazione ottengo come versore normale
$N=(\rho^2cos\theta/(16-\rho^2)^(1/2),\rho^2sin\theta/(16-\rho^2)^(1/2),\rho)$
quindi $||N||=\rho(\rho/(16-\rho^2)+1)^(1/2)=\rho(16/(16-\rho^2))^(1/2)$
perciò quando vado a fare l'integrale ottento
$\int\int2\rho(16-\rho^2)^(3/2)/(16-\rho^2)^(1/2)d\rhod\theta=\int\int2\rho(16-\rho^2)^(3)d\rhod\theta$
facilmente integrabile in $\rho$ ma poi la parte in $\theta$ non mi riesce a risolverla
$N=(\rho^2cos\theta/(16-\rho^2)^(1/2),\rho^2sin\theta/(16-\rho^2)^(1/2),\rho)$
quindi $||N||=\rho(\rho/(16-\rho^2)+1)^(1/2)=\rho(16/(16-\rho^2))^(1/2)$
perciò quando vado a fare l'integrale ottento
$\int\int2\rho(16-\rho^2)^(3/2)/(16-\rho^2)^(1/2)d\rhod\theta=\int\int2\rho(16-\rho^2)^(3)d\rhod\theta$
facilmente integrabile in $\rho$ ma poi la parte in $\theta$ non mi riesce a risolverla
Riflettendo ho notato che si può escogitare una cosa simile anche con le coordinate sferiche, purtroppo ora non ho tempo, quando ne ho ci provo, purtroppo questo esame è enorme e mi tocca andare a studiare pure tutta la parte sulle equazioni differenziali, sistemi di equazioni e problemi di cauchy e serie di ogni tipo se son difficili questi integrali figuriamoci le restanti cose.
PS GRAZIE!
se son difficili questi integrali figuriamoci le restanti cose. PS GRAZIE!
Allora alla fine mi è venuta un'idea che mi ha portato ad un risultato accettabile, ora cercherò di spiegartela chiaramente.
Per prima cosa noi, da vari passaggi algebrici, sappiamo che la coordinata $z$ aveva questo valore fisso $z=sqrt(16-(x^2+y^2))$.
Qui potevamo tentare dunque l'utilizzo della seguente formula,
$\{(x=x),(y=y),(z=sqrt(16-(x^2+y^2))):}$
da cui ricaviamo la seguente relazione $||\vecN||=sqrt(1+||\gradz||)=sqrt(1+((x^2+y^2)/(16-(x^2+y^2))))=4/sqrt(16-(x^2+y^2))$
A questo punto il nostro integrale si è trasformato in questo modo
$4intint16-(x^2+y^2)dxdy$ poiché $(z^3)*||\vecN||=4(16-(x^2+y^2))$
Dalla nostra superficie possiamo trovare l'equazione delll'ellisse che si ricava proiettando l'intersezione tra piano e sfera sul piano cartesiano xy, che ci servirà per calcolare l'integrale doppio in quella regione.
$\{(x^2+y^2+z^2=16),(z=4-x):}$
$x^2+y^2+16+x^2-8x-16=2x^2+y^2-8x$
dunque completando il quadrato e trovando l'equazione dell'ellisse in forma normale abbiamo
$((x-2)^2)/4+(y^2)/8=1$ con i coeff. $a=2$ e $b=2sqrt(2)$
Ora non ci resta che adottare le coordinate cilindriche generalizzate traslate di 2 sull'asse x
$\{(x=2\rho(cos\theta)+2),(y=(2sqrt(2))\rhosen\theta),(z=sqrt(16-(x^2+y^2))):}$
$\{(0\leq\rho\leq1),(0\leq\theta\leq2pi),(z=sqrt(16-(x^2+y^2))):}$
L'integranda si trasforma in un polinomio trigonometrico, considerando anche il fattore aggiuntivo $ab\rho$ dovuto al cambiamento di variabili
$ab[16\rho-8\rho^3sen^2\theta-4\rho^3cos^2\theta-8\rho^2cos\theta-4\rho]=ab[12\rho-8\rho^3sen^2\theta-4\rho^3cos^2\theta-8\rho^2cos\theta]$
Bene ora con un pò di algebra risolviamo il seguente integrale doppio;
$16sqrt(2)int_{0}^{1}d\rhoint_{0}^{2pi}12\rho-8\rho^3sen^2\theta-4\rho^3cos^2\theta-8\rho^2cos\thetad\theta$
$16sqrt(2)int_{0}^{1}[12\rho\theta-2\rho^3(3\theta-sen\thetacos\theta)-8\rho^2sen\theta]_{0}^{2pi}d\rho=16sqrt(2)int_{0}^{1}24pi\rho-12pi\rho^3d\rho=16sqrt(2)[12pi\rho^2-3pi\rho^4]_{0}^{1}=16sqrt(2)[12pi-3pi]=144sqrt(2)pi$
Questa è la mia soluzione definitiva probabilmente con qualche errore vista la lunghezza.
Spero ti sia di aiuto, Ciaoooo 
Per prima cosa noi, da vari passaggi algebrici, sappiamo che la coordinata $z$ aveva questo valore fisso $z=sqrt(16-(x^2+y^2))$.
Qui potevamo tentare dunque l'utilizzo della seguente formula,
$\{(x=x),(y=y),(z=sqrt(16-(x^2+y^2))):}$
da cui ricaviamo la seguente relazione $||\vecN||=sqrt(1+||\gradz||)=sqrt(1+((x^2+y^2)/(16-(x^2+y^2))))=4/sqrt(16-(x^2+y^2))$
A questo punto il nostro integrale si è trasformato in questo modo
$4intint16-(x^2+y^2)dxdy$ poiché $(z^3)*||\vecN||=4(16-(x^2+y^2))$
Dalla nostra superficie possiamo trovare l'equazione delll'ellisse che si ricava proiettando l'intersezione tra piano e sfera sul piano cartesiano xy, che ci servirà per calcolare l'integrale doppio in quella regione.
$\{(x^2+y^2+z^2=16),(z=4-x):}$
$x^2+y^2+16+x^2-8x-16=2x^2+y^2-8x$
dunque completando il quadrato e trovando l'equazione dell'ellisse in forma normale abbiamo
$((x-2)^2)/4+(y^2)/8=1$ con i coeff. $a=2$ e $b=2sqrt(2)$
Ora non ci resta che adottare le coordinate cilindriche generalizzate traslate di 2 sull'asse x
$\{(x=2\rho(cos\theta)+2),(y=(2sqrt(2))\rhosen\theta),(z=sqrt(16-(x^2+y^2))):}$
$\{(0\leq\rho\leq1),(0\leq\theta\leq2pi),(z=sqrt(16-(x^2+y^2))):}$
L'integranda si trasforma in un polinomio trigonometrico, considerando anche il fattore aggiuntivo $ab\rho$ dovuto al cambiamento di variabili
$ab[16\rho-8\rho^3sen^2\theta-4\rho^3cos^2\theta-8\rho^2cos\theta-4\rho]=ab[12\rho-8\rho^3sen^2\theta-4\rho^3cos^2\theta-8\rho^2cos\theta]$
Bene ora con un pò di algebra risolviamo il seguente integrale doppio;
$16sqrt(2)int_{0}^{1}d\rhoint_{0}^{2pi}12\rho-8\rho^3sen^2\theta-4\rho^3cos^2\theta-8\rho^2cos\thetad\theta$
$16sqrt(2)int_{0}^{1}[12\rho\theta-2\rho^3(3\theta-sen\thetacos\theta)-8\rho^2sen\theta]_{0}^{2pi}d\rho=16sqrt(2)int_{0}^{1}24pi\rho-12pi\rho^3d\rho=16sqrt(2)[12pi\rho^2-3pi\rho^4]_{0}^{1}=16sqrt(2)[12pi-3pi]=144sqrt(2)pi$
Questa è la mia soluzione definitiva probabilmente con qualche errore vista la lunghezza.
Spero ti sia di aiuto, Ciaoooo
wow notevole, più tardi mi metto a rifarlo e ti farò sapere. purtroppo non ho mai visto esercizi di questo tipo col cambiamento di variabili perciò non sarei mai stato capace di farlo! domani vado a ricevimento e se riesco chiederò informazioni sul primo esercizio
rifatto, non ci sono errori di calcolo, ancora grazie.
oggi sono andato a ricevimento e la professoressa dopo 10 minuti di sostituzioni mi ha detto che molto probabilmente quell'integrale non si risolve, e che ha avuto una svista quando l'ha inserito nell'appello e che lo correggerà mettendoci un integrale su una superficie che quando andremo a moltiplicare versore normale con la funzione si semplificherà e diventerà qualcosa che riesco ad integrare
oggi sono andato a ricevimento e la professoressa dopo 10 minuti di sostituzioni mi ha detto che molto probabilmente quell'integrale non si risolve, e che ha avuto una svista quando l'ha inserito nell'appello e che lo correggerà mettendoci un integrale su una superficie che quando andremo a moltiplicare versore normale con la funzione si semplificherà e diventerà qualcosa che riesco ad integrare
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