Integrali di superficie

[olaxgabry]

Ciao a tutti,

sono alle prese con due integrali di superficie e mi servirebbe un parere su come ho risolto il tutto.

1. Si calcoli il flusso del campo

\[
F=(xy,xy,z)
\]

attraverso la superficie $z=1-x^2-y^2$, con $z\geq 0$.

Prima di tutto ho scritto la superficie in forma vettoriale nel seguente modo:

\[
\Sigma=(x,y,1-x^2-y^2)
\]

A questo punto il flusso attraverso la superficie è

\[
\int\int_{A}dxdy
\]

dove $A$ è il cerchio di centro l'origine e raggio 1. Dato che

\[
=2x^2y+2xy^2+1-x^2-y^2
\]

ho pensato di risolvere l'integrale utilizzando le coordinate polari, con risultato $\pi/2$. Il ragionamento è corretto?


2. Nel secondo esercizio voglio calcolare il flusso di $F=(x,2y,3z)$ attraverso il cubo di vertici $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$.

In questo esercizio pensavo di scrivere l'equazione della superficie in forma vettoriale, solo che non so se sia la strada migliore. Qui aspetto suggerimenti per risolvere l'esercizio al meglio.

Grazie a tutti della disponibilità.

[olaxgabry]

Per il secondo, probabilmente, converrebbe utilizzare il teorema della divergenza. Che dite?