Integrali di superficie
Anzitutto buone feste a tutti !
Vi volevo proporre un esercizio d'esame, il testo è il seguente:
Sia: $ sum={(x,y,z):4z^2+(y-x)^2<=1 ; x+y+2z=1} $ , Calcolare: $ int_sum xdS $
Io ho iniziato così: si deduce ovviamente che : $ z=1/2 -((x+y)/2) $
$ S(x,y)=(x,y,1/2-((x+y)/2)) $
Poi derivo S prima rispetto ad x, poi ad y, e svolgo il prodotto vettoriale tra i due vettori:
$ (partial S)/(partial x)=(1,0,-1/2) -> (partial S)/(partial y)=(0,1,-1/2) $
Se non ho fatto errori di calcolo il prodotto vettoriale è: $ N(x,y)=(1/2,1/2,1) $
Per cui il valore assoluto del vettore normale è : $ ||N||=sqrt(3/2)=sqrt 6 /2 $
Quindi ora resterebbe da risolvere l'integrale: $ sqrt 6/2 int_sum x dxdy $
Ho difficoltà a trovare gli estremi di integrazione
Non so se il procedimento sin qui è corretto, e non mi interessa sapere quanto fa, mi basta arrivare alla scrittura dell'integrale irrisolto, con gli estremi.
Ultima domanda, il testo chiede, se fosse $ sum={(x,y,z):4z^2 +(y-x)^2<=1 , 0<=x+y+2z<=1} $ Calcolare l'area di $ partial sum $
Grazie mille in anticipo.
Vi volevo proporre un esercizio d'esame, il testo è il seguente:
Sia: $ sum={(x,y,z):4z^2+(y-x)^2<=1 ; x+y+2z=1} $ , Calcolare: $ int_sum xdS $
Io ho iniziato così: si deduce ovviamente che : $ z=1/2 -((x+y)/2) $
$ S(x,y)=(x,y,1/2-((x+y)/2)) $
Poi derivo S prima rispetto ad x, poi ad y, e svolgo il prodotto vettoriale tra i due vettori:
$ (partial S)/(partial x)=(1,0,-1/2) -> (partial S)/(partial y)=(0,1,-1/2) $
Se non ho fatto errori di calcolo il prodotto vettoriale è: $ N(x,y)=(1/2,1/2,1) $
Per cui il valore assoluto del vettore normale è : $ ||N||=sqrt(3/2)=sqrt 6 /2 $
Quindi ora resterebbe da risolvere l'integrale: $ sqrt 6/2 int_sum x dxdy $
Ho difficoltà a trovare gli estremi di integrazione
Non so se il procedimento sin qui è corretto, e non mi interessa sapere quanto fa, mi basta arrivare alla scrittura dell'integrale irrisolto, con gli estremi.
Ultima domanda, il testo chiede, se fosse $ sum={(x,y,z):4z^2 +(y-x)^2<=1 , 0<=x+y+2z<=1} $ Calcolare l'area di $ partial sum $
Grazie mille in anticipo.
Risposte
rispondo solo sul dominio di integrazione,non ho controllato il resto : sostituendo a $z$ la sua espressione in funzione di $x$ e $y$ nella disequazione del vincolo,si ottiene $x^2+y^2-x-yleq0$
quindi la superficie si proietta ,nel piano $z=0$ ,nel cerchio limitato dalla circonferenza $x^2+y^2-x-y=0$
è questo cerchio il dominio di integrazione
quindi la superficie si proietta ,nel piano $z=0$ ,nel cerchio limitato dalla circonferenza $x^2+y^2-x-y=0$
è questo cerchio il dominio di integrazione
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