Integrali di linea e parametrizzazione
Ciao a tutti!!
Scrivo per avere delucidazioni su integrali di linea e parametrizzazione di curve. Vi scrivo un esempio:
Calcolare $ int_(del )^() ((xy^4(y^2-2))/(y^2+4))ds $ dove $ del={y^2-xy+4=0} $ tra i punti $ (4,2) e (5,4) $. Ora quest'integrale è un integrale di linea di prima specie dato che quelli di seconda specie riguardano il calcolo del lavoro. Per fare questo genere di integrali ho bisogno delle equazioni parametriche della curva $ y^2-xy+4=0 $ che soddisfano i punti $ (4,2) e (5,4) $ . Una volta trovate le equazioni parametriche $ x(t)=... $ e $ y(t)=... $ e la variazione di t, il calcolo dell'integrale si riduce a $ int_(a)^(b) f(del (t))sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)dt $ dove x'(t) e y'(t) sono le derivate fatte rispetto a t delle coordinate. Il problema è che la curva $ y^2-xy+4=0 $ non è una curva nota e quindi non ho una formula che mi permette di calcolare subito le coordinate parametriche. La mia idea è quella di fare una sostituzione che permette di ricondursi a una curva nota per poi calcolare le coordinate parametriche, ma non riesco a trovarla. Chiedevo se esistono altri metodi per parametrizzare una curva oppure se tentare una sostituzione è l'unica via!
Scrivo per avere delucidazioni su integrali di linea e parametrizzazione di curve. Vi scrivo un esempio:
Calcolare $ int_(del )^() ((xy^4(y^2-2))/(y^2+4))ds $ dove $ del={y^2-xy+4=0} $ tra i punti $ (4,2) e (5,4) $. Ora quest'integrale è un integrale di linea di prima specie dato che quelli di seconda specie riguardano il calcolo del lavoro. Per fare questo genere di integrali ho bisogno delle equazioni parametriche della curva $ y^2-xy+4=0 $ che soddisfano i punti $ (4,2) e (5,4) $ . Una volta trovate le equazioni parametriche $ x(t)=... $ e $ y(t)=... $ e la variazione di t, il calcolo dell'integrale si riduce a $ int_(a)^(b) f(del (t))sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)dt $ dove x'(t) e y'(t) sono le derivate fatte rispetto a t delle coordinate. Il problema è che la curva $ y^2-xy+4=0 $ non è una curva nota e quindi non ho una formula che mi permette di calcolare subito le coordinate parametriche. La mia idea è quella di fare una sostituzione che permette di ricondursi a una curva nota per poi calcolare le coordinate parametriche, ma non riesco a trovarla. Chiedevo se esistono altri metodi per parametrizzare una curva oppure se tentare una sostituzione è l'unica via!
Risposte
Ciao,
potresti provare a esprimere la $x$ in funzione della $y$ nell'equazione data.
Fammi sapere.
potresti provare a esprimere la $x$ in funzione della $y$ nell'equazione data.
Fammi sapere.
In questi casi, dove, come puoi vedere, è abbastanza semplice esplicitare una coordinata in termini dell'altra, dal momento che $x={y^2+4}/{y}$ conviene porre $y=t$ e quindi $x={t^2+4}/{t}$ con $t\in[2,4]$.
I 
You !
You !
Grazie mille della precedente e immediata risposta...
ora mi sono imbattuto in un ulteriore quesito, dove non è così semplice esplicitare una variabile in funzione dell'altra...
lo scopo è quello di risalire ad un dominio intuibile (noto: ellisse, circonferenza, parabola...) .
L'equazione in questione è la seguente:
$ 13x^2-8xy+4y^2<=4 $
Dopo aver assistito ad una correzione del compito in esame, abbiamo visto che era opportuno fare una sostituzione del tipo $ x-y=t $ al fine di risalire al dominio di un ellisse in x, t ...
dunque la mia domanda è, esiste un metodo per intuire una simile sostituzione da effettuare per risalire a domini noti?
C'è una qualche formula, procedimento analitico da eseguire per ovviare a questo problema?
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione fin ora dimostrata
ora mi sono imbattuto in un ulteriore quesito, dove non è così semplice esplicitare una variabile in funzione dell'altra...
lo scopo è quello di risalire ad un dominio intuibile (noto: ellisse, circonferenza, parabola...) .
L'equazione in questione è la seguente:
$ 13x^2-8xy+4y^2<=4 $
Dopo aver assistito ad una correzione del compito in esame, abbiamo visto che era opportuno fare una sostituzione del tipo $ x-y=t $ al fine di risalire al dominio di un ellisse in x, t ...
dunque la mia domanda è, esiste un metodo per intuire una simile sostituzione da effettuare per risalire a domini noti?
C'è una qualche formula, procedimento analitico da eseguire per ovviare a questo problema?
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione fin ora dimostrata
Bé, quella che hai scritto è una conica in forma più o meno generale (quella generale ha equazione $ax^2+bxy+c y^2+dx+ey+f=0$) e vi sono vari metodi (algebrici) per risalire a quella che sarebbe la forma canonica. Quello che puoi fare, se non hai mai sentito di autovalori, autovettori, forme canoniche ecc., è la cosa seguente: una rotazione di equazione
$x=X\cos\alpha-Y\sin\alpha,\qquad y=X\sin\alpha+Y\cos\alpha$ con $\alpha$ angolo incognito
può essere applicata in modo da far sparire il prodotto misto (praticamente, prendi quelle equazioni che ho scritto, sotituisci a $x,y$, calcoli il coefficiente del termine $XY$ che verrà fuori e lo poni uguale a zero in modo da trovare l'angolo utile. fatto questo ottieni una nuova equazione del tipo $AX^2+BY^2\le C$ che, a seconda dei valori di $A,B,C$ può essere una circonferenza, un ellisse oppure un'iperbole).
Oppure, puoi cercare di trovare un metodo furbo per semplificare le cose: infatti puoi scrivere
$13x^3-8xy+4y^2=13x^2+4(y^2-2xy)=13x^2+4(y^2-2xy+x^2-x^2)=13x^2+4(x-y)^2-4x^2=9x^2+4(x-y)^2$
da cui ponendo $X=x,\ x-y=Y$ si ottiene l'equazione dell'ellisse $9X^2+4Y^2=4$ o anche $9/4 X^2+Y^2=1$. A quel punto l'ovvia parametrizzazione risulta
$X=2/3 \cos t,\ Y=\sin t$
ed essendo pure $x=X,\ y=X-Y$ ne segue la parametrizzazione di partenza $x=2/3\ \cos t,\ y=2/3\ \cos t-\sin t$.
P.S.: se applichi il primo metodo, troverai un altro tipo di parametrizzazione equivalente a questo.
$x=X\cos\alpha-Y\sin\alpha,\qquad y=X\sin\alpha+Y\cos\alpha$ con $\alpha$ angolo incognito
può essere applicata in modo da far sparire il prodotto misto (praticamente, prendi quelle equazioni che ho scritto, sotituisci a $x,y$, calcoli il coefficiente del termine $XY$ che verrà fuori e lo poni uguale a zero in modo da trovare l'angolo utile. fatto questo ottieni una nuova equazione del tipo $AX^2+BY^2\le C$ che, a seconda dei valori di $A,B,C$ può essere una circonferenza, un ellisse oppure un'iperbole).
Oppure, puoi cercare di trovare un metodo furbo per semplificare le cose: infatti puoi scrivere
$13x^3-8xy+4y^2=13x^2+4(y^2-2xy)=13x^2+4(y^2-2xy+x^2-x^2)=13x^2+4(x-y)^2-4x^2=9x^2+4(x-y)^2$
da cui ponendo $X=x,\ x-y=Y$ si ottiene l'equazione dell'ellisse $9X^2+4Y^2=4$ o anche $9/4 X^2+Y^2=1$. A quel punto l'ovvia parametrizzazione risulta
$X=2/3 \cos t,\ Y=\sin t$
ed essendo pure $x=X,\ y=X-Y$ ne segue la parametrizzazione di partenza $x=2/3\ \cos t,\ y=2/3\ \cos t-\sin t$.
P.S.: se applichi il primo metodo, troverai un altro tipo di parametrizzazione equivalente a questo.
Grazie mille... insomma il "fattore C" nell'intuire 
la sostituzione più opportuna, ha non poca rilevanza in merito!
Grazie ancora
la sostituzione più opportuna, ha non poca rilevanza in merito!Grazie ancora
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