Integrali di funzioni pari e/o dispari

[m4ri4no]

E' facile dimostrare che la derivata di una funzione pari (risp.dispari) è una funzione dispari (risp.pari).Mi chiedevo se era vero che l'integrale di una funzione pari (risp.dispari) fosse una funzione con dispari (risp.pari).Mi vengono in mente casi come quello delle funzioni sinusoidali e/o cosinusoidali,ma mi chiedo se la proprietà sia generale.Scusate per la banalità del quesito ma spero che qualcuno risponda.
Grazie.

[cart1]

Supponiamo che sia f(x) pari. Sia F(x) una primitiva di f(x), allora F(x)=int(0…x)f(t)dt e F(-x)=int(0…-x)f(t)dt.
Operiamo il cambiamento di variabili y=-t, allora avremo F(-x)=-int(0…x)f(-y)dy ed essendo la f pari, F(-x)=-int(0…x)f(y)dy=F(x).
Dunque la funzione integrale è dispari.
E’ vero che una funzione (regolare) è un polinomio di grado n se e soltanto se la sua derivata (n+1)esima è una funzione sia pari che dispari?

[Sk_Anonymous]

La risposta di Cart non mi pare molto corretta. La funzione f(t)=t^2 e' pari, ma la sua primitiva F(t)=t^3/3+1 non mi pare sia dispari.

Quanto alla domanda posta poi, si tenga presente che una funzione sia pari sia dispari e' la funzione nulla.

Luca77
http://www.llussardi.it

[cart1]

Scusami Luca, F(x)=int(0...x)(t^2)dt=x^3/3 è dispari.Non ho detto che ogni primitiva deve essere dispari.

[Sk_Anonymous]

Ok, l'unico tuo errore stava nell'aver detto che se F(x) e' una primitiva, allora F(x)=\int_0^x f(t)dt, e poi nell'aver detto "la funzione integrale", al singolare.
Quello che e' vero e' che esiste una primitiva dispari.

Luca77
http://www.llussardi.it