Integrali di funzioni non derivabili
Buongiorno a tutti! Riferendomi all'integrale classico che si studia nei licei... su un noto libro di testo di liceo trovo scritto che: "Si potrebbe dimostrare che di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato esistono sempre le funzioni primitive" senza tuttavia fornire dettagli teorici. Il senso, si spiega, è che anche funzioni non derivabili (ad esempio con punti angolosi, altri casi non mi sovvengono al momento) possono essere sempre integrate se continue. Perché, vi chiedo, sarebbe teoricamente sufficiente la continuità in un intervallo chiuso e limitato? Inoltre, in presenza di quali discontinuità (1, 2 e 3 specie) sarebbe ancora possibile integrare (intendo sempre con l'integrale classico) una funzione? Grazie anticipatamente per il supporto che potrete fornirmi.
Risposte
Buon di purtroppo non sono un esperto.
In effetti tutte funzioni limitate in un intervallo chiuso che ivi presentano un insieme di punti di discontinuità di misura nulla secondo Lebesgue sono integrabili secondo Riemann (teorema di Vitale Lebesgue).
Questo importantissimo terorema è codizioni necessaria e sufficiente per l' integrabilità di funzioni limitate in intervalli chiusi che caratterizza pienamente funzioni integrabili in termini di punti di singolarità.
Un insieme nullo secondo Lebesgue per esempio è il codominio di ogni successione reale ...
Pertanto , per esempio è integrabile la funzione:
$f(x)=x^2$ se $x!=1/n$ altrimenti $0.5^n$
definita in $[0,1]$
che ha "tantissimi punti di discontinuità" ...
In altre parole modificando i valori della funzione in un insieme di misura nulla secondo Jordan si ottiene ancora una funzione integrabile con uguale integrale...
Spero di aver chiarito un argomento a me molto caro!
Saluti
Mino
In effetti tutte funzioni limitate in un intervallo chiuso che ivi presentano un insieme di punti di discontinuità di misura nulla secondo Lebesgue sono integrabili secondo Riemann (teorema di Vitale Lebesgue).
Questo importantissimo terorema è codizioni necessaria e sufficiente per l' integrabilità di funzioni limitate in intervalli chiusi che caratterizza pienamente funzioni integrabili in termini di punti di singolarità.
Un insieme nullo secondo Lebesgue per esempio è il codominio di ogni successione reale ...
Pertanto , per esempio è integrabile la funzione:
$f(x)=x^2$ se $x!=1/n$ altrimenti $0.5^n$
definita in $[0,1]$
che ha "tantissimi punti di discontinuità" ...
In altre parole modificando i valori della funzione in un insieme di misura nulla secondo Jordan si ottiene ancora una funzione integrabile con uguale integrale...
Spero di aver chiarito un argomento a me molto caro!
Saluti
Mino
Caro erotemi,
se si tratta di un libro per il liceo sicuramente si riferisce all'integrale di Riemann e la risposta alla tua domanda la si può fornire senza scomodare Lebesgue.
Innanzi tutto ti consiglierei di dare un occhiata al fantastico libro di Paolo Maurizio Soardi "Analisi Matematica-nuova edizione" che merita diverse letture e dove viene spiegata in modo molto chiara tutta la teoria dell'integrazione secondo Riemann, con dovizia di particolari specialmente nelle dimostrazioni. (attenzione che vi è un altro libro con il medesimo titolo ma con coautrice una certa Maderna, ed è un libro terribile che ti Sconsiglio vivamente)
Non vorrei dilungarmi troppo nei dettagli della dimostrazione, quindi mi limito a citarne i punti salienti nella speranza di convincerti, e spronarti a svolgerla indipendentemente.
Veniamo adesso al teorema, sia data $f:[a,b]\to\RR$ continua allora $f$ è integrabile su $\RR$ .
Il teorema si dimostra facilmente ricordando che
1) dato che l'insieme $[a,b]$ è chiuso e limitato ed è sottoinsieme di $\RR$ allora è compatto.
2) Per il teorema di Heine-Cantor una funzione continua su un compatto è necessariamente uniformemente continua.
dunque per le ipotesi del teorema $f$ è uniformemente continua, questo ci permette di dire che $\forall \epsilon>0 $ esiste un UNICO $\delta>0$ tale che per ogni coppia di punti $t,r\in [a,b]$ si ha che $|(t-r)|<\delta$ implica che $|(f(t)-f(r))|<\epsilon$
Quello che è necessario sapere è la definizione di integrale di Riemann mediante Somme inferiori e superiori sulle partizioni, e le proprietà che le riguardano.
Non so il tuo livello di preparazione, assumendo che tu non sappia di cosa sto parlando ti voglio dare solo delle definizioni ad occhio per così dire senza perdermi in dettagli tecnici (anche importanti) ...
Quindi in soldoni possiamo dire che una partizione dell'intervallo $[a,b]$ è una famiglia di sottointervalli chiusi contigui di $[a,b]$ che uniti danno di nuovo luogo ad $[a,b]$. In sostanza una partizione è uno degli infiniti modi di "affettare" un intervallo in $n$ sottointervalli.
"l'area superiore" su un sottointervallo i-esimo che chiamiamo $p_i$ è definita semplicemente come $\gamma_i=d_i*max(f(p_i))$ dove chiaramente qui si intende il massimo della funzione $f:p_i\to \RR$ non il massimo assoluto della funzione definita su $[a,b]$, e dove $d_i$ è la lunghezza del sottointervallo $p_i$. In sostanza si tratta di base per altezza.
Ora la somma superiore invece su tutta la partizione non è altro che la somma di tutte le "aree superiori" valutate su ogni sottointervallo, cioè $S(P)=\sum\gamma_i$.
Graficamente $S(P)$ è l'area del plurirettangolo che data una partizione $P$ ricopre la curva.
Direi che un disegno vale più di mille parole:
Semplicemente sostituendo il minimo al massimo si ottiene la definizione di somme inferiori.
Anche in questo caso un disegno vale più di mille parole:
Ora tutto ciò che ci interessa studiare è la differenza fra somme superiori ed inferiori.
Se dimostriamo che questa differenza è minore un qualunque $\bar{\epsilon}>0$ per ogni partizione scelta allora avremo dimostrato che la funzione è integrabile.
Questa è una proprietà delle somme inferiori e superiori, la cui dimostrazione è semplice ed è riportata nel libro che ti ho citato.
Diciamo che in soldoni mi sto chiedendo se infittendo la mia partizione l'area del plurirettangolo sopra la curva tende all'area del plurirettangolo sotto la curva, e poiché l'area della curva (che è l'integrale di f) è compresa tra le aree dei due plurirettangoli , se queste due aree tendono allo stesso valore allora il valore a cui tendono è per forza il valore dell'area della curva, e se questo valore esiste finito allora si dice che la funzione è integrabile secondo Riemann ( cioè l'area sottesa alla curva esiste finita).
Scriviamo tale differenza per una partizione generica $P$:
$$
S(P)-s(p)=\sum d_i max(f(p_i))-\sum d_i min(f(p_i))=\sum d_i(max(f(p_i))-min(f(p_i)))
$$
ora per il teorema di Weistrass poiché ogni sotto intervallo $p_i$ è chiuso e limitato, la funzione definita su ogni sotto intervallo ammette massimo e minimo, quindi esistono $t_i$ e $r_i$ appartenenti a $p_i$ tali per cui
$$
max(f(p_i))=f(t_i)
$$
e
$$
min(f(p_i))=f(r_i)
$$
quindi per l'uniforme continuità si ha per qualunque partizione e coppia di punti $t_i$ ed $r_i$ che $|t_i-r_i|<\delta$ il che implica che $max(f(p_i))-min(f(p_i))=f(t_i)-f(r_i)=|f(t_i)-f(r_i)|<\epsilon$ quindi si ha che
$$
S(P)-s(p)<\epsilon\sum d_i=\epsilon*(b-a)
$$
chiamando $\bar{\epsilon}=\epsilon*(b-a)>0$ abbiamo dimostrato il teorema.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, non sapendo le tue basi ho preferito darti più informazioni anche se espresse con poca formalità.
Per rispondere alla seconda domanda, sempre parlando di $f:[a,b]\to \RR$ si può dimostrare che fintanto che la funzione è limitata, anche se possiede un numero finito di discontinuità allora è ancora integrabile(fatto abbastanza ovvio). Si può inoltre dimostrare che se f è monotona (senza chiedere che sia continua) allora è ancora integrabile (si dimostra che una funzione monotona può avere al massimo una quantità numerabile di discontinuità di prima specie).
Chiaramente è sempre fondamentale che la funzione sia limitata, se così non fosse non possiamo in alcun modo integrare "classicamente" perché il nostro integrale per così dire "esplode" fin da subito per definizione.
Quindi tutte le discontinuità che portano la funzione ad essere illimitata non permettono l'integrazione "classica".
Per alcune funzioni non limitate tuttavia si può ancora integrare, però non più con l'integrale "classico" ma utilizzando il concetto di integrale generalizzato, il quale è sempre discusso nel libro che ti ho citato.
Spero di esserti stato utile.
Scusa per la lunghezza del post, ma non sono riuscito ad essere più succinto di così.
se si tratta di un libro per il liceo sicuramente si riferisce all'integrale di Riemann e la risposta alla tua domanda la si può fornire senza scomodare Lebesgue.
Innanzi tutto ti consiglierei di dare un occhiata al fantastico libro di Paolo Maurizio Soardi "Analisi Matematica-nuova edizione" che merita diverse letture e dove viene spiegata in modo molto chiara tutta la teoria dell'integrazione secondo Riemann, con dovizia di particolari specialmente nelle dimostrazioni. (attenzione che vi è un altro libro con il medesimo titolo ma con coautrice una certa Maderna, ed è un libro terribile che ti Sconsiglio vivamente)
Non vorrei dilungarmi troppo nei dettagli della dimostrazione, quindi mi limito a citarne i punti salienti nella speranza di convincerti, e spronarti a svolgerla indipendentemente.
Veniamo adesso al teorema, sia data $f:[a,b]\to\RR$ continua allora $f$ è integrabile su $\RR$ .
Il teorema si dimostra facilmente ricordando che
1) dato che l'insieme $[a,b]$ è chiuso e limitato ed è sottoinsieme di $\RR$ allora è compatto.
2) Per il teorema di Heine-Cantor una funzione continua su un compatto è necessariamente uniformemente continua.
dunque per le ipotesi del teorema $f$ è uniformemente continua, questo ci permette di dire che $\forall \epsilon>0 $ esiste un UNICO $\delta>0$ tale che per ogni coppia di punti $t,r\in [a,b]$ si ha che $|(t-r)|<\delta$ implica che $|(f(t)-f(r))|<\epsilon$
Quello che è necessario sapere è la definizione di integrale di Riemann mediante Somme inferiori e superiori sulle partizioni, e le proprietà che le riguardano.
Non so il tuo livello di preparazione, assumendo che tu non sappia di cosa sto parlando ti voglio dare solo delle definizioni ad occhio per così dire senza perdermi in dettagli tecnici (anche importanti) ...
Quindi in soldoni possiamo dire che una partizione dell'intervallo $[a,b]$ è una famiglia di sottointervalli chiusi contigui di $[a,b]$ che uniti danno di nuovo luogo ad $[a,b]$. In sostanza una partizione è uno degli infiniti modi di "affettare" un intervallo in $n$ sottointervalli.
"l'area superiore" su un sottointervallo i-esimo che chiamiamo $p_i$ è definita semplicemente come $\gamma_i=d_i*max(f(p_i))$ dove chiaramente qui si intende il massimo della funzione $f:p_i\to \RR$ non il massimo assoluto della funzione definita su $[a,b]$, e dove $d_i$ è la lunghezza del sottointervallo $p_i$. In sostanza si tratta di base per altezza.
Ora la somma superiore invece su tutta la partizione non è altro che la somma di tutte le "aree superiori" valutate su ogni sottointervallo, cioè $S(P)=\sum\gamma_i$.
Graficamente $S(P)$ è l'area del plurirettangolo che data una partizione $P$ ricopre la curva.
Direi che un disegno vale più di mille parole:
Semplicemente sostituendo il minimo al massimo si ottiene la definizione di somme inferiori.
Anche in questo caso un disegno vale più di mille parole:
Ora tutto ciò che ci interessa studiare è la differenza fra somme superiori ed inferiori.
Se dimostriamo che questa differenza è minore un qualunque $\bar{\epsilon}>0$ per ogni partizione scelta allora avremo dimostrato che la funzione è integrabile.
Questa è una proprietà delle somme inferiori e superiori, la cui dimostrazione è semplice ed è riportata nel libro che ti ho citato.
Diciamo che in soldoni mi sto chiedendo se infittendo la mia partizione l'area del plurirettangolo sopra la curva tende all'area del plurirettangolo sotto la curva, e poiché l'area della curva (che è l'integrale di f) è compresa tra le aree dei due plurirettangoli , se queste due aree tendono allo stesso valore allora il valore a cui tendono è per forza il valore dell'area della curva, e se questo valore esiste finito allora si dice che la funzione è integrabile secondo Riemann ( cioè l'area sottesa alla curva esiste finita).
Scriviamo tale differenza per una partizione generica $P$:
$$
S(P)-s(p)=\sum d_i max(f(p_i))-\sum d_i min(f(p_i))=\sum d_i(max(f(p_i))-min(f(p_i)))
$$
ora per il teorema di Weistrass poiché ogni sotto intervallo $p_i$ è chiuso e limitato, la funzione definita su ogni sotto intervallo ammette massimo e minimo, quindi esistono $t_i$ e $r_i$ appartenenti a $p_i$ tali per cui
$$
max(f(p_i))=f(t_i)
$$
e
$$
min(f(p_i))=f(r_i)
$$
quindi per l'uniforme continuità si ha per qualunque partizione e coppia di punti $t_i$ ed $r_i$ che $|t_i-r_i|<\delta$ il che implica che $max(f(p_i))-min(f(p_i))=f(t_i)-f(r_i)=|f(t_i)-f(r_i)|<\epsilon$ quindi si ha che
$$
S(P)-s(p)<\epsilon\sum d_i=\epsilon*(b-a)
$$
chiamando $\bar{\epsilon}=\epsilon*(b-a)>0$ abbiamo dimostrato il teorema.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro, non sapendo le tue basi ho preferito darti più informazioni anche se espresse con poca formalità.
Per rispondere alla seconda domanda, sempre parlando di $f:[a,b]\to \RR$ si può dimostrare che fintanto che la funzione è limitata, anche se possiede un numero finito di discontinuità allora è ancora integrabile(fatto abbastanza ovvio). Si può inoltre dimostrare che se f è monotona (senza chiedere che sia continua) allora è ancora integrabile (si dimostra che una funzione monotona può avere al massimo una quantità numerabile di discontinuità di prima specie).
Chiaramente è sempre fondamentale che la funzione sia limitata, se così non fosse non possiamo in alcun modo integrare "classicamente" perché il nostro integrale per così dire "esplode" fin da subito per definizione.
Quindi tutte le discontinuità che portano la funzione ad essere illimitata non permettono l'integrazione "classica".
Per alcune funzioni non limitate tuttavia si può ancora integrare, però non più con l'integrale "classico" ma utilizzando il concetto di integrale generalizzato, il quale è sempre discusso nel libro che ti ho citato.
Spero di esserti stato utile.
Scusa per la lunghezza del post, ma non sono riuscito ad essere più succinto di così.
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