Integrali di f.razionali
Ciao a tutti. Nel mio libro ci sono alcuni esempi di integrali di funzioni razionali risolti ma c'è un passaggio che non capisco. L'integrale è $ int_()^()x/(1+x^2)^ndx $ .
Loro moltiplicano e dividono per 2 ottenendo $1/2int_()^()(2x)/(1+x^2)^ndx$ ma perchè moltiplicano e dividono per 2?
Dopo di ciò ottengono che se $n=1$ si ha $1/2log(1+x^2)+c$ e se $n>1$ si ha $-1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1))$ ma perchè? Che tipo di integrazione usano? quali sono i passaggi nascosti che non riesco a vedere?
Loro moltiplicano e dividono per 2 ottenendo $1/2int_()^()(2x)/(1+x^2)^ndx$ ma perchè moltiplicano e dividono per 2?
Dopo di ciò ottengono che se $n=1$ si ha $1/2log(1+x^2)+c$ e se $n>1$ si ha $-1/(2(n-1)(1+x^2)^(n-1))$ ma perchè? Che tipo di integrazione usano? quali sono i passaggi nascosti che non riesco a vedere?
Risposte
Hai presente questo integrale immediato?:
$ int (f'(x))/(f(x)) dx $ $=$ $log |f(x)| + C$
Ti dice nulla?
EDIT: prova a risolvere $int 1/x dx$
e successivamente $int 1/(2x) dx$
$ int (f'(x))/(f(x)) dx $ $=$ $log |f(x)| + C$
Ti dice nulla?
EDIT: prova a risolvere $int 1/x dx$
e successivamente $int 1/(2x) dx$
$2x$ è la derivata di $f(x)=1+x^2$. dunque scritta così la funzione integranda è $[f(x)]^(alpha)*f'(x)$, con $alpha= -n$. è più chiaro?
"AlexlovesUSA":
Ciao a tutti. Nel mio libro ci sono alcuni esempi di integrali di funzioni razionali risolti ma c'è un passaggio che non capisco. L'integrale è $ int_()^()x/(1+x^2)^ndx $ .
Loro moltiplicano e dividono per 2 ottenendo $1/2int_()^()(2x)/(1+x^2)^ndx$ ma perchè moltiplicano e dividono per 2?
Serve per avere la derivata di $(1+x^2)$
Per farti capire meglio, ti consiglio di fare la sostituizone $y=1+x^2$
$dy=2x dx$
e dunque l'integrale diventa
$1/2int_()^()(2x)/(1+x^2)^ndx$= $1/2int_()^()1/(y)^ndy$
Allora, andando per ordine, se io pongo questo integrale in questo modo $int x(1+x^2)^(-n)$ dovrei poi risolverlo con l'integrazione per sostituzione?
Scusate ma non ho capito bene nessuna delle 3 spiegazioni
Non ho ancora capito perchè si moltiplica e divide per 2. Ho capito solo che serve per fare la derivata, ma perchè dobbiamo fare la derivata? di cosa?
Scusate ma sono stanco e confuso...
Scusate ma non ho capito bene nessuna delle 3 spiegazioni
Non ho ancora capito perchè si moltiplica e divide per 2. Ho capito solo che serve per fare la derivata, ma perchè dobbiamo fare la derivata? di cosa?Scusate ma sono stanco e confuso...
Ti ripropongo questo integrale immediato:
$ int (f'(x))/(f(x)) dx $ $=$ $log |f(x)| + C$
Per poterlo usare, al numeratore devi avere la derivata di ciò che è al denominatore.
In questo caso è necessario il $2$ per avere la derivata.
OK?
$ int (f'(x))/(f(x)) dx $ $=$ $log |f(x)| + C$
Per poterlo usare, al numeratore devi avere la derivata di ciò che è al denominatore.
In questo caso è necessario il $2$ per avere la derivata.
OK?
"AlexlovesUSA":
Allora, andando per ordine, se io pongo questo integrale in questo modo $int x(1+x^2)^(-n)$ dovrei poi risolverlo con l'integrazione per sostituzione?
Scusate ma non ho capito bene nessuna delle 3 spiegazioni
Scusate ma sono stanco e confuso...
l'altra formula, quella che non porta al logaritmo, cioè con $n != 1$, $int x(1+x^2)^(-n) dx = 1/2 int 2x * (1+x^2)^(-n) dx = 1/2*((1+x^2)^(-n+1))/(-n+1) +C$
Ok adesso ci siamo. Ma nella seconda formula, quella con $n!=1$ dove va a finire 2x?
Hey ragazzi, sono molto confuso sulla risoluzione di questo tipo di integrali. C'è qualcosa che mi sfugge. Il mio libro è molto confuso a riguardo e molto ristretto come contenuti,ma purtroppo ormai non posso + cambiarlo.
Perfavore potrebbe qualcuno spiegarmi chiaramente e brevemente quale è il procedimento che si adotta?
A partire dall'integrazione per parti, che sul mio libro c'è un solo esempio e non è che si capisca molto bene
Cioè quello che vorrei capire io è, perchè $int_()^()k/(ax+b)$ è uguale a$k/aln(ax+b)$ ? Con quali criteri ci si arriva?
Poi perchè per esempio questo integrale $int_()^()x^2/(1+x^2)^2dx$ lo facciamo diventare $1/2int_()^()((2x)(x))/(1+x^2)^2$ ? Poi loro integrano per parti ottenendo $int_()^()x/(2(1+x^2))-1/2int_()^()1/(1+x^2)dx$ ma quale è la funzione che considerano derivata? e quale è quella da derivare?
Praticamente come si diceva prima, $int_()^()(f'(x))/(f(x))=lnf(x)$. Ora ho visto che c'è un'altra formula di questo tipo, alla quale cerchiamo di ricondurre f.razionali con $delta<0$, che è $int_()^()(f'(x))/(1+(f(x)^2))=arctanf(x)$. Ma da dove vengono queste formule? Uno che non le sa e che non le ha mai viste come c arriva a risolvere questo integrale?
Perfavore chiaritemi le idee... sono confuso
Perfavore potrebbe qualcuno spiegarmi chiaramente e brevemente quale è il procedimento che si adotta?
A partire dall'integrazione per parti, che sul mio libro c'è un solo esempio e non è che si capisca molto bene
Cioè quello che vorrei capire io è, perchè $int_()^()k/(ax+b)$ è uguale a$k/aln(ax+b)$ ? Con quali criteri ci si arriva?
Poi perchè per esempio questo integrale $int_()^()x^2/(1+x^2)^2dx$ lo facciamo diventare $1/2int_()^()((2x)(x))/(1+x^2)^2$ ? Poi loro integrano per parti ottenendo $int_()^()x/(2(1+x^2))-1/2int_()^()1/(1+x^2)dx$ ma quale è la funzione che considerano derivata? e quale è quella da derivare?
Praticamente come si diceva prima, $int_()^()(f'(x))/(f(x))=lnf(x)$. Ora ho visto che c'è un'altra formula di questo tipo, alla quale cerchiamo di ricondurre f.razionali con $delta<0$, che è $int_()^()(f'(x))/(1+(f(x)^2))=arctanf(x)$. Ma da dove vengono queste formule? Uno che non le sa e che non le ha mai viste come c arriva a risolvere questo integrale?
Perfavore chiaritemi le idee... sono confuso
il famoso vecchio $2x$ è sempre la derivata di $f(x)=1+x^2$, dunque è quello che nella formula compare come $f'(x)$: allora dove va a finire?
hai presente la formula di derivazione di funzioni composte? $D(f(g(x)))=f'(g(x))*g'(x)$.
per utilizzare la formula inversa, cioè per integrare, $int f'(g(x))$ non lo sapresti fare, se non ci fosse anche $g'(x)$.
invece una primitiva di $f'(g(x))*g'(x)$ è proprio $f(g(x))$.
capito il meccanismo?
la stessa cosa vale per tutti i tipi di funzione proposti da te. in particolare, se hai $int k/(ax+b)$ devi cercare di avere al numeratore la derivata del denominatore, che è $a$, e per far questo devi moltiplicare per $a$ e dividere per $k$ (lo puoi fare appunto se si tratta di costanti non nulle) dentro il simbolo di integrale, e "parare i conti" moltiplicando per $k$ e dividendo per $a$ fuori del simbolo di integrale.
hai presente la formula di derivazione di funzioni composte? $D(f(g(x)))=f'(g(x))*g'(x)$.
per utilizzare la formula inversa, cioè per integrare, $int f'(g(x))$ non lo sapresti fare, se non ci fosse anche $g'(x)$.
invece una primitiva di $f'(g(x))*g'(x)$ è proprio $f(g(x))$.
capito il meccanismo?
la stessa cosa vale per tutti i tipi di funzione proposti da te. in particolare, se hai $int k/(ax+b)$ devi cercare di avere al numeratore la derivata del denominatore, che è $a$, e per far questo devi moltiplicare per $a$ e dividere per $k$ (lo puoi fare appunto se si tratta di costanti non nulle) dentro il simbolo di integrale, e "parare i conti" moltiplicando per $k$ e dividendo per $a$ fuori del simbolo di integrale.
Ti consiglio di studiare bene tutte le regole di integrazione immediata: sono essenziali per cogliere i primi meccanismi, come ad esempio $\int \frac{k}{xb+b}$.
Ovviamente così non è integrabile ma lo puoi ricondurre ad una forma immediata moltiplicando e dividendo per valori opportuni.
Ovviamente così non è integrabile ma lo puoi ricondurre ad una forma immediata moltiplicando e dividendo per valori opportuni.
Ok adesso ci siamo 
Ho trovato un ebook dove spiega queste cose semplicemente e ho capito che si deve fare. Praticamente dobbiamo ricordarci la formula di derivazione composta. A questo punto sapendo che l'integrale non è altro che l'inverso della derivata, significa che facendo l'integrale del risultato della der. composta otteniamo la funzione di partenza quindi ho capito perchè nei casi precedenti $f'(x)$ se ne va via... semplicente perchè non compare nella funzione oriinaria 
Quindi ricapitolando: Quando abbiamo una funzione fratta, dopo avere considerato il grado, avere fatto scomposizioni ecc..., cerchiamo di ricondurla a una forma del tipo $int_()^()[f'(x)]/[f(x)]$ o in una forma del tipo $int_()^()f'(x)f(x)^(-n)$ o una cosa del genere e abbiamo la soluzione. In definitiva dobbiamo usare spesso queste formule note oppure l'integrazione per parti quando ce ne è bisogno.
P.S.
Quando conviene usare, supergiù, l'integrazione per sostituzione?
Ho trovato un ebook dove spiega queste cose semplicemente e ho capito che si deve fare. Praticamente dobbiamo ricordarci la formula di derivazione composta. A questo punto sapendo che l'integrale non è altro che l'inverso della derivata, significa che facendo l'integrale del risultato della der. composta otteniamo la funzione di partenza quindi ho capito perchè nei casi precedenti $f'(x)$ se ne va via... semplicente perchè non compare nella funzione oriinaria Quindi ricapitolando: Quando abbiamo una funzione fratta, dopo avere considerato il grado, avere fatto scomposizioni ecc..., cerchiamo di ricondurla a una forma del tipo $int_()^()[f'(x)]/[f(x)]$ o in una forma del tipo $int_()^()f'(x)f(x)^(-n)$ o una cosa del genere e abbiamo la soluzione. In definitiva dobbiamo usare spesso queste formule note oppure l'integrazione per parti quando ce ne è bisogno.
P.S.
Quando conviene usare, supergiù, l'integrazione per sostituzione?
Allora ragazzi, ho studiato il capitolo sugli integrali imporpi. Voglio fare un riassuntino per vedere se ho le idee chiare su come si risolvono.
Per quanto rigarda gli intervalli del tipo $[a;+oo)$, se la funzione è loc. integrabile nell'intervallo, pongo $lim_(y->+oo)int_(a)^(y)f(x)dx.
Per stabilire se è convergente o meno ci sono vari metodi.
1)Cerco di calcolare l'integrale con i metodi noti e poi fare il limite e vedere quanto viene.
2)Utilizzo l'equivalenza asintotica riconducendo la funzione $f(x)$ a una $g(x)$ e vedo se $g(x)$ converge o meno. Allora,confrontandolo con $f(x)$ stabilisco se converge o diverge tutto l'integrale.
3)Confronto la funzione con $1/x^(alpha)$ e se f è infinitesimo ordine $aplha>1$ converge altrimenti se è $0
Non ho capito e sarei contento se qualcuno me lo spiegasse, le funzioni di segno qualsiasi e ovvero il metodo del val.assoluto. Non capisco quando si applica e come.
Se abbiamo una funzione invece loc integrabile in $[a;b[$ o in $]a;b[$ il limite lo faccio per $y->b^-$, per esempio, e questa volta confronto con la funzione $1/(b-x)^(alpha)$ e dico che converge se è infinito di ordine $0
Stabilire se converge il seg. int: $int_(0)^(1)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)int_(0)^(y)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)((y-1)log(1-y)-y)=-1$ Non ho capito come fanno ad ottenere l'ultima equazione. Che tipo di integrazione usano?
Per quanto rigarda gli intervalli del tipo $[a;+oo)$, se la funzione è loc. integrabile nell'intervallo, pongo $lim_(y->+oo)int_(a)^(y)f(x)dx.
Per stabilire se è convergente o meno ci sono vari metodi.
1)Cerco di calcolare l'integrale con i metodi noti e poi fare il limite e vedere quanto viene.
2)Utilizzo l'equivalenza asintotica riconducendo la funzione $f(x)$ a una $g(x)$ e vedo se $g(x)$ converge o meno. Allora,confrontandolo con $f(x)$ stabilisco se converge o diverge tutto l'integrale.
3)Confronto la funzione con $1/x^(alpha)$ e se f è infinitesimo ordine $aplha>1$ converge altrimenti se è $0
Non ho capito e sarei contento se qualcuno me lo spiegasse, le funzioni di segno qualsiasi e ovvero il metodo del val.assoluto. Non capisco quando si applica e come.
Se abbiamo una funzione invece loc integrabile in $[a;b[$ o in $]a;b[$ il limite lo faccio per $y->b^-$, per esempio, e questa volta confronto con la funzione $1/(b-x)^(alpha)$ e dico che converge se è infinito di ordine $0
Stabilire se converge il seg. int: $int_(0)^(1)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)int_(0)^(y)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)((y-1)log(1-y)-y)=-1$ Non ho capito come fanno ad ottenere l'ultima equazione. Che tipo di integrazione usano?
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