Integrali delta Dirac
Buonasera,
ho i seguenti integrali:
$ int_(1/2)^(oo ) delta(cos (pi x)) 2^(-x) $
$ int_(1)^(oo ) delta(sin (pi x)) 3^(-x) $
ove delta è la delta di Dirac e pi è pigreco.
Ora il primo mi viene 5/(2pisqrt(2)) e il secondo 5/(3pi).
Sapete aiutarmi se sono corretti o meno? perchè le dispense danno un altro risultato!
grazie mille!
ho i seguenti integrali:
$ int_(1/2)^(oo ) delta(cos (pi x)) 2^(-x) $
$ int_(1)^(oo ) delta(sin (pi x)) 3^(-x) $
ove delta è la delta di Dirac e pi è pigreco.
Ora il primo mi viene 5/(2pisqrt(2)) e il secondo 5/(3pi).
Sapete aiutarmi se sono corretti o meno? perchè le dispense danno un altro risultato!
grazie mille!
Risposte
Potresti postare i passaggi che hai svolto?
1) cos(pi x)=0 ossia xn=1/2 +k con k da 0 a più infinito. |cos(pi xn)|= pi
$ int_(1/2)^(oo) sum_(k = 0)^(k = oo ) delta (x-1/2-x)/(pi 2^x) $
$ 1/(pi 2 sqrt(2) )+ 1/(pi sqrt(2) )sum_(k = 1)^(k = oo )1/(2^k) $
$ int_(1/2)^(oo) delta (x-1/2)/(pi 2^x) + int_(1/2)^(oo) sum_(k = 1)^(k = oo )delta (x-1/2-k)/(pi 2^x) $
ora la serie è geometrica con e convergente e la somma è $ 1/(1-1/2) $
sommo il tutto e mi viene 5/(2 pi sqrt(2) )
2) sin (pi x)=0 ossia x=k con k da 1 a più infinito. | |= pi
faccio lo stesso procedimento di sopra scomponendo in due parti e trovo anche qui una serie geometrica convergente e ho come risultato 5/(3 pi)
dove sbaglio?
$ int_(1/2)^(oo) sum_(k = 0)^(k = oo ) delta (x-1/2-x)/(pi 2^x) $
$ 1/(pi 2 sqrt(2) )+ 1/(pi sqrt(2) )sum_(k = 1)^(k = oo )1/(2^k) $
$ int_(1/2)^(oo) delta (x-1/2)/(pi 2^x) + int_(1/2)^(oo) sum_(k = 1)^(k = oo )delta (x-1/2-k)/(pi 2^x) $
ora la serie è geometrica con e convergente e la somma è $ 1/(1-1/2) $
sommo il tutto e mi viene 5/(2 pi sqrt(2) )
2) sin (pi x)=0 ossia x=k con k da 1 a più infinito. | |= pi
faccio lo stesso procedimento di sopra scomponendo in due parti e trovo anche qui una serie geometrica convergente e ho come risultato 5/(3 pi)
dove sbaglio?
La serie geometrica parte dall'indice zero altrimenti quella formula non è valida...
Cmq... avresti $\int_{1/2}^\infty 1/(2^x \pi) \sum_{k=0}^\infty \delta(x-(1/2+k)) dx = \int_{1/2}^\infty \sum_{k=0}^\infty (\delta(x-(1/2+k)) 1/(\pi 2^(1/2 + k))) dx = 1/(\sqrt(2)\pi)\sum_{k=0}^\infty (1/2)^k = 1/(\sqrt(2)\pi) 2 = \sqrt(2) / \pi$
Per la seconda... il ragionamento è lo stesso... il problema è nel tuo modo di risolvere la serie geometrica... $\sum_{k=0}^\infty q^k = 1/(1-q)$ con $|q|<1$.
Cmq... avresti $\int_{1/2}^\infty 1/(2^x \pi) \sum_{k=0}^\infty \delta(x-(1/2+k)) dx = \int_{1/2}^\infty \sum_{k=0}^\infty (\delta(x-(1/2+k)) 1/(\pi 2^(1/2 + k))) dx = 1/(\sqrt(2)\pi)\sum_{k=0}^\infty (1/2)^k = 1/(\sqrt(2)\pi) 2 = \sqrt(2) / \pi$
Per la seconda... il ragionamento è lo stesso... il problema è nel tuo modo di risolvere la serie geometrica... $\sum_{k=0}^\infty q^k = 1/(1-q)$ con $|q|<1$.
ok!
Grazie mille!
Sul libro il risultato che mi da al primo integrale è di 3/(2 pi sqrt(2))... che faccio?
E per il secondo ho che la sommatoria parte gia da 1 perchè l'integrale va da 1 a infinito...come posso fare allora?
Grazie mille!
Sul libro il risultato che mi da al primo integrale è di 3/(2 pi sqrt(2))... che faccio?
E per il secondo ho che la sommatoria parte gia da 1 perchè l'integrale va da 1 a infinito...come posso fare allora?
Il problema è quasi sicuramente legato al fatto che c'è una delta sul bordo dell'intervallo di integrazione, infatti per $k=0$ si ha $\delta(x-1/2)$, il problema si riduce a chiedersi quanto vale $\int_0^\infty \delta(x) dx$. Molto probabilmente questo vale $1/2$ ma non saprei giustificare la cosa in maniera formale. Quindi è meglio aspettare che qualcuno magari sappia dare una risposta corretta e formale di questo fatto.
Per rispondere anche all'altra domanda... $\sum_{k=1}^\infty q^k = (\sum_{K=0}^\infty q^k) - 1$.
Per rispondere anche all'altra domanda... $\sum_{k=1}^\infty q^k = (\sum_{K=0}^\infty q^k) - 1$.
ok,
e se invece ho $ int_(-1)^(1) delta ' (cos( pi x)) (x^2+1) $
come mi comporto?
So che derivata della delta di una funzione è uguale a meno la delta della derivata della funzione, ma come la sfrutto questa cosa?
e se invece ho $ int_(-1)^(1) delta ' (cos( pi x)) (x^2+1) $
come mi comporto?
So che derivata della delta di una funzione è uguale a meno la delta della derivata della funzione, ma come la sfrutto questa cosa?
[OT]
Di notazioni pessime ne avevo viste tante, ma la composizione di una distribuzione con una funzione (vedi [tex]$\delta (\cos \pi x)$[/tex]) non mi era mai capitata.
Grazie per la segnalazione!
[/OT]
Di notazioni pessime ne avevo viste tante, ma la composizione di una distribuzione con una funzione (vedi [tex]$\delta (\cos \pi x)$[/tex]) non mi era mai capitata.
Grazie per la segnalazione!
[/OT]
@gugo82: Secondo te cosa si può dire a riguardo?
@KP1: Sicuro di questo?
Stai dicendo che $\delta'(g(x)) = -\delta(g'(x))$, confermi? Perchè a me suona alquanto strano... Dalla formula $\delta(g(x)) = \sum_{k} (\delta(x-x_k))/(|g'(x_k)|)$ mi verrebbe da dire che $\delta'(g(x)) = (\sum_{k} (\delta(x-x_k))/(|g'(x_k)|))' = \sum_{k} (\delta'(x-x_k))/(|g'(x_k)|)$
"Ska":
Il problema è quasi sicuramente legato al fatto che c'è una delta sul bordo dell'intervallo di integrazione, infatti per $k=0$ si ha $\delta(x-1/2)$, il problema si riduce a chiedersi quanto vale $\int_0^\infty \delta(x) dx$. Molto probabilmente questo vale $1/2$ ma non saprei giustificare la cosa in maniera formale. Quindi è meglio aspettare che qualcuno magari sappia dare una risposta corretta e formale di questo fatto.
@KP1: Sicuro di questo?
"KP1":
So che derivata della delta di una funzione è uguale a meno la delta della derivata della funzione, ma come la sfrutto questa cosa?
Stai dicendo che $\delta'(g(x)) = -\delta(g'(x))$, confermi? Perchè a me suona alquanto strano... Dalla formula $\delta(g(x)) = \sum_{k} (\delta(x-x_k))/(|g'(x_k)|)$ mi verrebbe da dire che $\delta'(g(x)) = (\sum_{k} (\delta(x-x_k))/(|g'(x_k)|))' = \sum_{k} (\delta'(x-x_k))/(|g'(x_k)|)$
"Ska":[/quote]
@gugo82: Secondo te cosa si può dire a riguardo?
[quote="Ska"]Il problema è quasi sicuramente legato al fatto che c'è una delta sul bordo dell'intervallo di integrazione, infatti per $k=0$ si ha $\delta(x-1/2)$, il problema si riduce a chiedersi quanto vale $\int_0^\infty \delta(x) dx$. Molto probabilmente questo vale $1/2$ ma non saprei giustificare la cosa in maniera formale. Quindi è meglio aspettare che qualcuno magari sappia dare una risposta corretta e formale di questo fatto.
Usare le distribuzioni così è un delitto, questo penso.
Ad ogni modo, dipende da come si interpreta la scrittura (usata, ma formalmente scorretta) [tex]\int_0^{+\infty} \delta (x)\ \text{d} x[/tex], da qual è lo spazio dei test, etc...
Comprendo il tuo disappunto nel vedere questa leggiadria nella manipolazione di distribuzioni... anche io quando ho visto il topic mi son chiesto cosa diavolo fosse la composizione con una delta di dirac.
Da quello che so io la delta è una distribuzione definita su [tex]$D(\Omega)$[/tex], [tex]$S(\Omega)$[/tex] e [tex]$\varepsilon(\Omega)$[/tex], quindi è anche una distribuzione temperata e a supporto compatto. Non saprei come gestire quella scrittura, pensare alla delta applicata su [tex]$H(x)$[/tex] gradino di Heaviside non ha senso, non è una funzione [tex]$C^\infty$[/tex], Usare una successione che approssimi il gradino rende arbitrario il valore in zero che questo può assumere. Altro non saprei... si potrebbe pensare che [tex]$1/2$[/tex] sia corretto pensando al legame con Fourier, il fatto che la antitrasformata converga al valor medio di una discontinuità di salto, anche se questo fatto non so se sia vero in generale (trasformata generalizzata) o valga solo in senso classico.
Il fatto di usare una successione che converga alla delta, rende il risultato dipendente dalla successione scelta.
Da quello che so io la delta è una distribuzione definita su [tex]$D(\Omega)$[/tex], [tex]$S(\Omega)$[/tex] e [tex]$\varepsilon(\Omega)$[/tex], quindi è anche una distribuzione temperata e a supporto compatto. Non saprei come gestire quella scrittura, pensare alla delta applicata su [tex]$H(x)$[/tex] gradino di Heaviside non ha senso, non è una funzione [tex]$C^\infty$[/tex], Usare una successione che approssimi il gradino rende arbitrario il valore in zero che questo può assumere. Altro non saprei... si potrebbe pensare che [tex]$1/2$[/tex] sia corretto pensando al legame con Fourier, il fatto che la antitrasformata converga al valor medio di una discontinuità di salto, anche se questo fatto non so se sia vero in generale (trasformata generalizzata) o valga solo in senso classico.
Il fatto di usare una successione che converga alla delta, rende il risultato dipendente dalla successione scelta.
Esatto; le mie perplessità erano più o meno queste.
Aggiungi che con [tex]$\int_0^{+\infty}$[/tex] si può denotare sia l'integrale definito in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] che quello in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] e che [tex]$\delta$[/tex] si può vedere come la misura rispetto alla quale si sta integrando; ma [tex]$\delta$[/tex] è una misura concentrata in [tex]$0$[/tex], quindi l'appartenenza di [tex]$0$[/tex] all'insieme base dell'integrazione non è mica un dettaglio di poco conto...
Ad ogni buon conto, chi ha proposto l'esercizio probabilmente avrà spiegato come intende quel simbolo; per risolvere l'arcano basterebbe sfogliare le dispense, o andare a parlare col docente.
Aggiungi che con [tex]$\int_0^{+\infty}$[/tex] si può denotare sia l'integrale definito in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] che quello in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] e che [tex]$\delta$[/tex] si può vedere come la misura rispetto alla quale si sta integrando; ma [tex]$\delta$[/tex] è una misura concentrata in [tex]$0$[/tex], quindi l'appartenenza di [tex]$0$[/tex] all'insieme base dell'integrazione non è mica un dettaglio di poco conto...
Ad ogni buon conto, chi ha proposto l'esercizio probabilmente avrà spiegato come intende quel simbolo; per risolvere l'arcano basterebbe sfogliare le dispense, o andare a parlare col docente.
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