Integrali definiti da 0 a +infinito

[w122yman]

$int_(0)^(+infty)(xlog((1+x^4)/(2+x^4)))dx$

Ciao
Sono uno studente universitario, studio ingegneria informatica ed ho un professore un pò particolare di analisi I, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere quest'esercizio ?! Grazie in anticipo

[gugo82]

Non ci vedo nulla distrano in questo esercizio, è piuttosto standard.
Dove ti blocchi?
Cosa dice il libro a proposito degli integrali impropri?
Conosci qualche criterio di convergenza?

[chisigma]

"w122yman":$int_(0)^(+infty)(xlog((1+x^4)/(2+x^4)))dx$

Ciao
Sono uno studente universitario, studio ingegneria informatica ed ho un professore un pò particolare di analisi I, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere quest'esercizio ?! Grazie in anticipo

Una cosa e' importante : devi solo studiare la convergenza dell'integrale oppure calcolarne, se converge, il valore numerico?...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[w122yman]

Devo anche calcolarne il valore numerico facendo i 2 limiti! Il primo che tende a +infinito - il secondo che tende a 0

[w122yman]

"gugo82":Non ci vedo nulla distrano in questo esercizio, è piuttosto standard.
Dove ti blocchi?
Cosa dice il libro a proposito degli integrali impropri?
Conosci qualche criterio di convergenza?

Praticamente il mio professore è fissato con i sviluppi di taylor ! E per svolgere quel logaritmo molto probabilmente bisogna utilizzarlo ! Il libro non porta nemmeno un esempio di esercizio con integrali da 0 a +infinito ! Se puoi risolverlo mi faresti un grande piacere

[Brancaleone1]

Prima di tutto devi controllare la convergenza. Questo integrale converge se

$lim_(x->0^+)xln((1+x^4)/(2+x^4))={(l in RR),(text(oppure)),(pm oo text( di ordine < 1)):}$

e se

$lim_(x->+oo)xln((1+x^4)/(2+x^4))=0 text( di ordine > 1)$

Verifica e facci sapere

[chisigma]

"w122yman":$int_(0)^(+infty)(xlog((1+x^4)/(2+x^4)))dx$

Ciao
Sono uno studente universitario, studio ingegneria informatica ed ho un professore un pò particolare di analisi I, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere quest'esercizio ?! Grazie in anticipo

Tenendo in conto che si tratta di un integrale da affrontare con i metodi di Analisi I si e' obbligati, anche se l'impresa e' ardua, a procedere con un metodo 'tradizionale' per cui tentiamo di integrare per parti. Scegliendo $f(x)=x$ come 'fattore differenziale' e $g(x)= \ln \frac{1 + x^{4}}{2+x^{4}}$ come 'fattore finito' abbiamo al primo passaggio...

$\int_{0}^{\infty} x\ \ln \frac{1 + x^{4}}{2+x^{4}}\ dx = |\frac{x^{2}}{2}\ \ln \frac{1+x^{4}}{2+x^{4}} |_{0}^ {\infty} - \int_{0}^{\infty} \frac{2\ x^{5}}{x^{8} + 3\ x^{4} + 2}\ dx $ (1)

Bene!... ora concentriamoci sul primo termine della (1) calcolando con il metodo dell'Hopital...

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2}\ \ln \frac{1+x^{4}}{2+x^{4}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+x^{4})- \ln (2 + x^{4})}{\frac{2}{x^{2}}} = \lim_{x \rightarrow \infty} - \frac{x^{6}}{(1+x^{4})\ (2+x^{4})} = 0$ (2)

... e con una certa sorpresa scopriamo che il primo termine vale zero!... il secondo termine pero’ e’ decisamente complicato da trattare con metodi di Analisi I e sara’ affrontato nel prossimo post...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[chisigma]

Abbiamo visto nel precedente post che e'...

$\int_{0}^{\infty} x\ \ln \frac{1 + x^{4}}{2+x^{4}}\ dx = - \int_{0}^{\infty} \frac{2\ x^{5}}{x^{8} + 3\ x^{4} + 2}\ dx $ (1)

... per cui affrontiamo ora l'integrale (1) scomponendolo in modo da avere...

$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{5}}{x^{8} + 3\ x^{4} + 2}\ dx = \int_{0}^{infty} \frac {x}{1+\frac{x^{4}}{2}} dx - \int_{0}^{infty} \frac {x}{1+x^{4}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} |\tan^{-1} \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}|_{0}^{\infty} - \frac{1}{2} |\tan^{-1} x^{2}|_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}\ (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2})\ \pi$ (2)

... per cui alla fine abbiamo...

$\int_{0}^{\infty} x\ \ln \frac{1 + x^{4}}{2+x^{4}}\ dx = (\frac{1}{2}- \frac{1}{\sqrt{2}})\ \pi$ (3)



cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$