Integrali definiti con valore assoluto
Ciao a tutti, ho questo integrale da risolvere
$\int_{pi/4}^{3/4pi} 1/(1-|cosx|)dx$
Non è il valore assoluto a preoccuparmi, in quanto (se non ho commesso errori), l'integrale equivalente è
$\int_{pi/4}^{pi/2} 1/(1-cosx)dx + \int_{pi/2}^{3/4pi} 1/(1+cosx)dx$
poi penso di sostituire $1=sin^2x + cos^2x$ ma dopo vari calcoli mi sembra di ottenere sempre la frazione di partenza...
POtete illuminarmi? Al solito mi perdo in un bicchiere d'acqua
Grazie
$\int_{pi/4}^{3/4pi} 1/(1-|cosx|)dx$
Non è il valore assoluto a preoccuparmi, in quanto (se non ho commesso errori), l'integrale equivalente è
$\int_{pi/4}^{pi/2} 1/(1-cosx)dx + \int_{pi/2}^{3/4pi} 1/(1+cosx)dx$
poi penso di sostituire $1=sin^2x + cos^2x$ ma dopo vari calcoli mi sembra di ottenere sempre la frazione di partenza...
POtete illuminarmi? Al solito mi perdo in un bicchiere d'acqua
Grazie
Risposte
Poni $tg(x/2)=t$...
...o anche:
$1-\cos(x) = 2 \sin^2(x/2)$, ottenendo così un integrale immediato.
$1-\cos(x) = 2 \sin^2(x/2)$, ottenendo così un integrale immediato.
Grazie ragazzi per avermi risposto..Ho risolto come mi ha consigliato Leena e vi dico i passaggi che ho fatto..
Dopo aver posto $tg (x/2)=t$ dalla formule parametriche si ha che $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ e avendo adesso cambiato la variabile da x a t devo anche calcolare il dx e quindi ricavo dalla prima formula la x $x=2arctgt$ e quindi $dx=1/(1+t^2)dt$
sostituendo nell'integrale, dopo vari calcoli, si ottiene (sempre che non abbia sbagliato prima
)
$\int_{pi/4}^ {pi/2} 1/(2t^2)dt + \int_{pi/2}^{3/4pi} 1/2 dt= 1/2([-1/t]_{pi/4}^{pi/2} + [t]_{pi/2}^{3/4pi})$ e quindi alla fine ottengo come risultato $9/(8pi)$
Però non sono granchè convinta di questa soluzione
e non ho nemmeno il risultato finale nel libro 
.E' giusta così?
Grazie
Dopo aver posto $tg (x/2)=t$ dalla formule parametriche si ha che $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ e avendo adesso cambiato la variabile da x a t devo anche calcolare il dx e quindi ricavo dalla prima formula la x $x=2arctgt$ e quindi $dx=1/(1+t^2)dt$
sostituendo nell'integrale, dopo vari calcoli, si ottiene (sempre che non abbia sbagliato prima
)$\int_{pi/4}^ {pi/2} 1/(2t^2)dt + \int_{pi/2}^{3/4pi} 1/2 dt= 1/2([-1/t]_{pi/4}^{pi/2} + [t]_{pi/2}^{3/4pi})$ e quindi alla fine ottengo come risultato $9/(8pi)$
Però non sono granchè convinta di questa soluzione
e non ho nemmeno il risultato finale nel libro .E' giusta così? Grazie
"Samy21":
$\int_{pi/4}^ {pi/2} 1/(2t^2)dt + \int_{pi/2}^{3/4pi} 1/2 dt= 1/2([-1/t]_{pi/4}^{pi/2} + [t]_{pi/2}^{3/4pi})$ e quindi alla fine ottengo come risultato $9/(8pi)$
Attenta, quando si effettua una sostituzione cambiano anche gli estremi di integrazione...
Prova a verificarlo con dei Programmi che fanno queste cose (derive.matlab,mathematica,maple).Se non li hai ,vai su internet e cerca( Wolfram Integrator).Ti calcola qualunque integrale indefinito
"leena":
[quote="Samy21"]$\int_{pi/4}^ {pi/2} 1/(2t^2)dt + \int_{pi/2}^{3/4pi} 1/2 dt= 1/2([-1/t]_{pi/4}^{pi/2} + [t]_{pi/2}^{3/4pi})$ e quindi alla fine ottengo come risultato $9/(8pi)$
Attenta, quando si effettua una sostituzione cambiano anche gli estremi di integrazione...[/quote]
Verooooo!!Mannaggia lo dimentico sempre...Grazie..Riprovo subito..
Riguardo ai programmi, mi hanno consigliato derive ma usando linux mi sa che non è una buona idea
Devo fare prima un giretto nella sezione che avete dedicato ai programmi per sceglierne uno valido, ho MathRider ma non l'ho ancora esplorato a dovere.Comunque grazie, per le info.
Ho riprovato...E penso di aver dato il meglio di me per non ottenere risultati
Tenendo presente il cambio fatto, ossia $tg(x/2)=t$ ho calcolato i nuovi estremi e quindi per $x=pi/2$ $t=0$ ma poi per $x=pi/4$ e per $x=3/4pi$ si ottiene rispettivamente $t=+infty$ e $ t=-infty$ ottenendo quindi degli integrali impropri
$\int_{+infty}^{0} 1/(2t^2) dt + \int_{-infty}^{0} dt =1/2 lim_{b \to \+infty} \int_{b}^{0} 1/t^2 + lim_{c \to \-infty} \int_{0}^{c} dt = 1/ 2 lim_{b \to \+infty} [-1/t]_{b}^{0} + lim_{c \to \-infty} [t]_{0}^{c}$ quindi la soluzione finale è $-infty$..io non lo reputo possibile..
Dove ho sbagliato?
Grazie a tutti..
Tenendo presente il cambio fatto, ossia $tg(x/2)=t$ ho calcolato i nuovi estremi e quindi per $x=pi/2$ $t=0$ ma poi per $x=pi/4$ e per $x=3/4pi$ si ottiene rispettivamente $t=+infty$ e $ t=-infty$ ottenendo quindi degli integrali impropri
$\int_{+infty}^{0} 1/(2t^2) dt + \int_{-infty}^{0} dt =1/2 lim_{b \to \+infty} \int_{b}^{0} 1/t^2 + lim_{c \to \-infty} \int_{0}^{c} dt = 1/ 2 lim_{b \to \+infty} [-1/t]_{b}^{0} + lim_{c \to \-infty} [t]_{0}^{c}$ quindi la soluzione finale è $-infty$..io non lo reputo possibile..
Dove ho sbagliato?
Grazie a tutti..
"Samy21":
Tenendo presente il cambio fatto, ossia $tg(x/2)=t$ ho calcolato i nuovi estremi e quindi per $x=pi/2$ $t=0$ ma poi per $x=pi/4$ e per $x=3/4pi$ si ottiene rispettivamente $t=+infty$ e $ t=-infty$ ottenendo quindi degli integrali impropri
Riguarda bene i calcoli sono errati:
$tg(x/2)=t$ per $x=pi/2$ diventa $t=tg(pi/2*1/2)=tg(pi/4)=1$
e così via..
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