Integrali definiti con estremi in incognite

[booster180]

ciao a tutti ragazzi
non riesco a capire come sviluppare gli integrali definiti all interno di un intervallo rappresentato da incognite
faccio un esempio con un esercizio:

F(x)= $\int_{-2x}^{-x^2} (1-2t) dt$ determina F'(x)

per cortesia qualcuno potrebbe mostrarmi il passaggio in questo esercizio poi io cercherò di applicarlo su altri
io dovrei effettuare una sostituzione conveniente che mi porta da t a x
questa sostituzione deve essere sicuramente influenzata dalla forma degli estremi di integrazione

se io ponessi
$t=-2x$ penso che avrei un integrale di questa forma (o simile)
$\int_{1}^{?} 4(1+4x)dx$
ora però non so come comportarmi con l altro estremo di integrazione
come lo devo considerare?

ps: sono convinto di aver scritto una boiata

[Palliit]

Ciao. Scusa ma a me (da ignorante) verrebbe da calcolare l'integrale definito : $\int_{-2x}^{-x^2} (1-2t) dt$ ,
per poi derivare il risultato rispetto ad $x$ ...

[booster180]

cavolo....
veramente un esercizio facilissimo, che figuraccia che ho fatto
grazie mille, io mi aspettavo chissà che sostituzioni

[gugo82]

Applicare il teorema di derivazione della funzione composta ed il teorema fondamentale del Calcolo Integrale no, eh?

Ricordate che il TFCI dice che la funzione:
\[
\Phi (y) := \int_{y_0}^y \phi (t)\ \text{d} t
\]
è derivabile dove \(\phi\) è continua e \(\Phi^\prime (y)=\phi (y)\); dato che la \(F\) la puoi scrivere:
\[
\begin{split}
F(x) &= \int_{-2x}^{-x^2} (1-2t)\ \text{d} t \\
&= \int_{-2x}^0 (1-2t)\ \text{d} t + \int_0^{-x^2} (1-2t)\ \text{d} t\\
&= -\int_0^{-2x} (1-2t)\ \text{d} t + \int_0^{-x^2} (1-2t)\ \text{d} t\\
&= - \Phi (-2x) +\Phi (-x^2)
\end{split}
\]
con \(\Phi (y):=\int_0^y (1-2t)\ \text{d} t\), si può applicare il teorema di derivazione della funzione composta senza problemi.

[Palliit]

@gugo82: io l'avevo premesso che la mia era un'opinione da ignorante