Integrali definiti

[uscrocc]

Salve ragazzi, domani ho compito e il prof ha detto che metterà 1 o 2 integrali di questo tipo:



dove a è un numero per esempio 3 che alla seconda fa 9, oppure 4^2=16...

sapete darmi un procedimento standard da seguire ? grazie mille..

[Bremen000]

Mah, è un integrale normalissimo, considera solo che $a$ è un numero:

$$

\int(a^2-x^2)dx = a^2x-\frac{x^3}{3} +c

$$

Ciao!

[uscrocc]

"Bremen000":Mah, è un integrale normalissimo, considera solo che $a$ è un numero:

$$

\int(a^2-x^2)dx = a^2x-\frac{x^3}{3} +c

$$

Ciao!

Scusami tanto! mi sono reso conto soltanto adesso che l'integrale non era il precedente, ma questo:

[Bremen000]

Ah ok, adesso ragioniamo, è una specie di classico.

Userò la seguente sostituzione:

$$
x= a \sin(t) \quad \Rightarrow \quad t = \arcsin(x/a) \\
dx = a \cos(t) dt
$$

Allora l'integrale diventa:

$$
\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \int{\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(t)}a \cos(t)} dt = \int{\sqrt{a^2 \cos^2(t)} a \cos(t)} dt =\\ a^2 \int{cos^2(t)}dt =
a^2 \int{\frac{1+\cos(2t)}{2}}dt = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(2t)}{4} + c
$$

Risostituendo abbiamo:
$$
\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(2t)}{4} + c = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(t)\cos(t)}{2}+c =\frac{a^2 \arcsin(x/a)}{2} + \frac{x}{2} \cdot \sqrt{a^2-x^2} + c
$$

[uscrocc]

"Bremen000":Ah ok, adesso ragioniamo, è una specie di classico.

Userò la seguente sostituzione:

$$
x= a \sin(t) \quad \Rightarrow \quad t = \arcsin(x/a) \\
dx = a \cos(t) dt
$$

Allora l'integrale diventa:

$$
\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \int{\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(t)}a \cos(t)} dt = \int{\sqrt{a^2 \cos^2(t)} a \cos(t)} dt =\\ a^2 \int{cos^2(t)}dt =
a^2 \int{\frac{1+\cos(2t)}{2}}dt = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(2t)}{4} + c
$$

Risostituendo abbiamo:
$$
\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(2t)}{4} + c = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(t)\cos(t)}{2}+c =\frac{a^2 \arcsin(x/a)}{2} + \frac{x}{2} \cdot \sqrt{a^2-x^2} + c
$$

se ho questo testo
$$
\int {\sqrt{9-x^2}}dx
$$
con estremi [-3;3]

viene il risultato di
$$
\frac{9\pi}{4}
$$
è giusto?

[anto_zoolander]

stavo scrivendo e mi è spuntato errore... che nervoso

la cosa principale è applicare la sostituzione: $x=f(y)=asin(y)$

tieni conto che $x-a^2geq0$ quindi $xgeqa, xleq-a$.

La funzione, una volta finito l'integrale, dovrà essere invertita, ottenendo $y=f^(-1)(x)$ ma questo deve essere possibile, quindi $asin(y)$ deve essere invertibile. Quindi $-1leqasin(y)leq1$ ovvero

$arcsin(-1/a)leqyleqarcsin(1/a)$

teniamo solo il primo periodo, perché sennò perdiamo l'iniettività e quindi l'invertibilità.

entrambi gli argomenti sono definiti per tutte le $ageq1, aleq-1$ quindi tutto torna.

calcoliamo il differenziale che sarà $dx=acos(y)dy$

$intsqrt(a^2-a^2sin^2(y))*acos(y)dy$

$intasqrt(a^2(1-sin^2(y)))*cos(y)dy$

$inta*|a|sqrt(cos^2(y))*cos(y)dy$ mi riscrivo $a*|a|=k$ per comodità

$kint|cos(y)|*cos(y)dy$ non ci resta che verificare che $cos(y)geq0 forallyin[arcsin(-1/a),arcsin(1/a)]$

sappiamo che sia $arcsin(-1/a)$ che $arcsin(1/a)$ sono definiti $forallageq1, aleq-1$ quindi se l'argomento dell'arcseno è compreso tra $-1$ e $1$ allora l'arcseno è compreso tra $-pi/2$ e $pi/2$ ed in quell'intervallo il coseno è certamente positivo, quindi possiamo sciogliere il valore assoluto.

$kintcos^2(y)dy |_(y=f^(-1)(x))$

adesso basta svolgere questo integrale che si fa per parti.

$kintcos(y)cos(y)dy=k(sin(y)cos(y)-intsin(y)*(-sin(y))dy)$

$kintcos(y)cos(y)dy=k(sin(y)cos(y)+intsin^2(y)dy)$

$kintcos(y)cos(y)dy=k(sin(y)cos(y)+int1-cos^2(y)dy)$

$kintcos(y)cos(y)dy=ksin(y)cos(y)+kint1dy-kintcos^2(y)dy$ ora sfrutto l'uguaglianza

$2kintcos(y)cos(y)dy=ksin(y)cos(y)+ky$

quindi alla fine otterremo $intcos(y)cos(y)dy=(sin(y)cos(y)+y)/2|_(y=f^(-1)(x))$

ritornando in $x$..con l'uguaglianza $asin(y)=x$ otteniamo $y=arcsin(x/a) forallyin[arcsin(-1/a),arcsin(1/a)]$

$intcos^2(y)dy=1/2(x/a*sqrt(1-(x/a)^2)+arcsin(x/a))$

$intcos^2(y)dy=1/2(x/a*sqrt(a^2-x^2)/|a|+arcsin(x/a))$

$intcos^2(y)dy=1/2((x*sqrt(a^2-x^2))/(a*|a|)+arcsin(x/a))$

dobbiamo riportare il il primo membro com'era.

sappiamo che $acos(y)dy=dx$ quindi $dy=dx/(acos(arcsin(x/a))$ ovvero $dy=dx/(a/|a|sqrt(a^2-x^2))$

naturalmente $cos^2(y)=(a^2-x^2)/a^2$

quindi $int(a^2-x^2)/(a^2)*dx/(a/|a|sqrt(a^2-x^2))= |a|/a^3intsqrt(a^2-x^2)dx$

non ci rimane che togliere $|a|/a^3$ da li.

$|a|/a^3intsqrt(a^2-x^2)dx=1/2((x*sqrt(a^2-x^2))/(a*|a|)+arcsin(x/a))$

$intsqrt(a^2-x^2)dx=1/2(a^3/|a|(x*sqrt(a^2-x^2))/(a*|a|)+a^3/|a|arcsin(x/a))$

alla fine $|a|*|a|=a^2$ quindi semplificando tutte le $a$ possibili otteniamo


$intsqrt(a^2-x^2)dx=1/2(x*sqrt(a^2-x^2)+a^3/|a|arcsin(x/a))+c$


$a^3/|a|$ puoi anche scriverlo come $sign(a)*a^2= a*|a|$

lo volevi generale.. tieni il generale..

[Bremen000]

No il risultato è sbagliato, considera che la figura delineata da quella funzione è una semicirconferenza di raggio 3; la sua area è dunque metà di quella del cerchio, $\frac{9\pi}{2}$; risultato che viene anche utilizzando l'espressione da me prodotta per l'integrale.

Per controllare i conti (e non per dubbi teorici) ti consiglio di utilizzare woflram alpha.

[uscrocc]

"Bremen000":No il risultato è sbagliato, considera che la figura delineata da quella funzione è una semicirconferenza di raggio 3; la sua area è dunque metà di quella del cerchio, $\frac{9\pi}{2}$; risultato che viene anche utilizzando l'espressione da me prodotta per l'integrale.

Per controllare i conti (e non per dubbi teorici) ti consiglio di utilizzare woflram alpha.

ma applicando il tuo metodo nemmeno mi risulta.. mi potresti scrivere il procedimento con quei valori?

[Berationalgetreal]

Questo tipo di integrali viene spesso trattato con le sostituzioni iperboliche o trigometriche. In realtà si risolve in pochi passaggi senza neanche sostituire:

\[ \int \sqrt { a^2 - x^2} dx = \int \frac{ a^2 - x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = a^2 \cdot \arcsin \left ( \frac{x}{|a|} \right ) + \int x \ d \left ( \sqrt{a^2 - x^2} \right ) = \]

\[ = a^2 \cdot \arcsin \left ( \frac{x}{|a|} \right ) + x \cdot \sqrt{a^2 - x^2} - \int \sqrt{a^2 - x^2} dx \]

Siamo di fronte a un meraviglioso integrale ciclico, quindi:

\[ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{ a^2 \cdot \arcsin \left ( \frac{x}{|a|} \right ) + x \cdot \sqrt{a^2 - x^2} }{2} + C \]

[Bremen000]

Scrivimi il procedimento che applichi tu e vediamo cosa sbagli.

Prima di farlo considera che se
$$
\int{f(x)}dx = \Phi(x)+c
$$
allora
$$
\int_{a}^{b}{f(x)}dx = \Phi(b)-\Phi(a)
$$
per il teorema fondamentale del calcolo integrale.

[uscrocc]

"Bremen000":Ah ok, adesso ragioniamo, è una specie di classico.

Userò la seguente sostituzione:

$$
x= a \sin(t) \quad \Rightarrow \quad t = \arcsin(x/a) \\
dx = a \cos(t) dt
$$

Allora l'integrale diventa:

$$
\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \int{\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(t)}a \cos(t)} dt = \int{\sqrt{a^2 \cos^2(t)} a \cos(t)} dt =\\ a^2 \int{cos^2(t)}dt =
a^2 \int{\frac{1+\cos(2t)}{2}}dt = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(2t)}{4} + c
$$

Risostituendo abbiamo:
$$
\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(2t)}{4} + c = \frac{a^2 t}{2} + \frac{a^2 \sin(t)\cos(t)}{2}+c =\frac{a^2 \arcsin(x/a)}{2} + \frac{x}{2} \cdot \sqrt{a^2-x^2} + c
$$

$$
\int{\sqrt{9-x^2}}dx = \int{\sqrt{9 -(3 \sin(t))^2} 3 \cos(t)}dt= \int{\sqrt{9(1-\sin^2(t)} 3\cos(t)} dt= 9\int{\cos^2(t)} dt=
\frac{9}{2}[(t+\sin(t)\cos(t)]
$$
sostituisco prima 3 dopo il meno invece -3:
$$
\frac{9}{2}[(\arcsin(1)+1\sqrt{1-1}) - (\arcsin(-1)-1\sqrt{0})]= \frac{9}{2} \frac{\pi}{2}= \frac{9\pi}{4}

$$

[Bremen000]

Fai confusione quando passi dal risultato in $t$ a quello in $x$...

$
[\frac{9 \arcsin(x/3)}{2} + \frac{x}{2} \cdot \sqrt{9-x^2} + c]_{-3}^{3} = [\frac{9 \arcsin(1)}{2}+\frac{3}{2} \cdot \sqrt(9-9)]-[\frac{9 \arcsin(-1)}{2}+\frac{-3}{2} \cdot \sqrt(9-9)]= [\frac{9\pi}{4}+\frac{3}{2} \cdot 0] -[\frac{-9\pi}{4}-\frac{3}{2} \cdot 0] = \frac{9\pi}{4}+\frac{9\pi}{4} = \frac{9\pi}{2}
$

[uscrocc]

"Bremen000":Fai confusione quando passi dal risultato in $t$ a quello in $x$...

$
[\frac{9 \arcsin(x/3)}{2} + \frac{x}{2} \cdot \sqrt{9-x^2} + c]_{-3}^{3} = [\frac{9 \arcsin(1)}{2}+\frac{3}{2} \cdot \sqrt(9-9)]-[\frac{9 \arcsin(-1)}{2}+\frac{-3}{2} \cdot \sqrt(9-9)]= [\frac{9\pi}{4}+\frac{3}{2} \cdot 0] -[\frac{-9\pi}{4}-\frac{3}{2} \cdot 0] = \frac{9\pi}{4}+\frac{9\pi}{4} = \frac{9\pi}{2}
$

madonna che errore..
è giusto allora?

[Bremen000]

cosa?

[anto_zoolander]

comunque in generale come moltiplicatore dell'$arcsin(x/a)$ c'è $a^2sgn(a)$ e non $a^2$ infatti se usate tipo un valore di $a$ negativo, senza tener conto del modulo, vi cambia tutto..

[Bremen000]

Io l'ho risolto con $a$ positivo, in genere questi esercizi sono dati come

$
\int{\sqrt{16-x^2}}dx
$

piuttosto che come
$
\int{\sqrt{(-4)^2-x^2}}dx
$

Se poi fosse $a$ negativo allora andrebbero effettuate le dovute correzioni.

[uscrocc]

"Bremen000":cosa?

scusami, ma $$\sin(t)=\frac{x}{a}$$?
e $$\cos(t)=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$$ ?

[anto_zoolander]

"uscrocc":[quote="Bremen000"]cosa?

scusami, ma $$\sin(t)=\frac{x}{a}$$?
e $$\cos(t)=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$$ ?[/quote]

$cos(t)=sqrt(1-x^2/a^2)=sqrt(a^2-x^2)/|a|$

[Berationalgetreal]

"anto_zoolander":comunque in generale come moltiplicatore dell'$arcsin(x/a)$ c'è $a^2sgn(a)$ e non $a^2$ infatti se usate tipo un valore di $a$ negativo, senza tener conto del modulo, vi cambia tutto..

In realtà ho dimenticato di mettere il modulo nella $a$ al denominatore dell'argomento dell'arcoseno. Mettiamo il caso in cui $a < 0$:

\[ - a^2 \arcsin \left ( \frac{x}{- |a|} \right ) = a^2 \arcsin \left ( \frac{x}{|a| } \right ) \] poiché la funzione arcoseno è dispari. Stessa cosa se $ a > 0$.

La mia intenzione era di mettere il modulo, ma mi sono dimenticato. Correggo

[anto_zoolander]

Sembra una fesseria il modulo, intanto è sempre lì pronto a farti sbagliare. ahahahaah