Integrali curvilini

[squalllionheart]

Salve ho completamente dimenticato tutto sto seguendo il conrso di fisica due ma non mi ricordo come si calcolano le lunghezze delle curve ad esempio una cosa molto semplice come che la lunghezza della circonferenza è $2piR$ come si impostava:
cordinate polari e poi integravo la $sqrt(1+y'(t))$ non mi torna il calcolo integro solo $theta$ dato che R è fisso? grazie

[squalllionheart]

ho quasi capito l'unica cosa non capisco perchè un archetto infinitesimo di curva $dl$ è uguale a $Rd theta$ grazie.

[Steven11]

In generale vale che la lunghezza di un arco [tex]$l$[/tex] è uguale al prodotto tra il raggio e l'angolo al centro misurato in radianti
[tex]$l=R\theta$[/tex] (nel caso [tex]$\theta=2\pi$[/tex] ho infatti tutta la circonferenza).

[vict85]

"squalllionheart":Salve ho completamente dimenticato tutto sto seguendo il conrso di fisica due ma non mi ricordo come si calcolano le lunghezze delle curve ad esempio una cosa molto semplice come che la lunghezza della circonferenza è $2piR$ come si impostava:
cordinate polari e poi integravo la $sqrt(1+y'(t))$ non mi torna il calcolo integro solo $theta$ dato che R è fisso? grazie

In realtà quella è la formula per una curva di un tipo molto particolare. In generale se tu hai una curva [tex]\mathbf{r}\colon I \to \mathbb{R}^3[/tex] allora la lunghezza della curva è [tex]L(\mathbf{r}) = \int_I || \mathbf{r}'(t) ||dt[/tex], in altre parole [tex]L(\mathbf{r}) = \int_I \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} dt[/tex].

In questo caso si può considerare la circonferenza parametrizzata con [tex]t\mapsto (R\sin(t), R\cos(t))[/tex] e quindi:

[tex]\displaystyle L(\mathbf{r}) = \int_0^{2 \pi} \sqrt{R^2\sin^2(t) + R^2\cos(t)} dt = R\int_0^{2 \pi} dt = 2\pi R[/tex]

La formula di Steven si calcola nello stesso modo...

[squalllionheart]

ok grazie ad entrambi