Integrali curvilinei di seconda specie

[antony_8]

Buongiorno ragazzi , sono qui oggi per chiedervi se lo svolgimento fatto da me di un esercizio di Analisi II e' corretto. Come da titolo si tratta di un integrale curvilineo di seconda specie. Il testo recita:
Dato il seguente campo vettoriale:
$
F(x,y,z) = ( ylogz+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} , xlogz+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} , \frac{xy}{z})
$
calcolare:
$
\int_{\gamma} Fds
$
dove $\gamma$ e' la curva parametrizzata da:
$
r(t) = ((arctan(t(t-1)))^2 , (cos(t(t-1)))^2,(sin(t(t-1)))^2+1) , 0\leq t \leq 1
$

Svolgimento (secondo me):
Prima cosa verifico l'irrotazionalita' del campo vettoriale, quindi ottengo:
$
\frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{x}{z}
$
$
\frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{y}{z}
$
$
\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x} = logz - \frac{xy}{(x^2+y^2)^2}
$
Quindi ho che il campo assegnato e' effettivamente irrotazionale, di conseguenza ammettera' funzione potenziale U.
Determino U:
$
\frac{\partial U}{\partial x} = F_x \Rightarrow U_1 = xylogz+\sqrt{x^2+y^2}
$
$
\frac{\partial U}{\partial y} = F_y \Rightarrow U_2 = xylogz+\sqrt{x^2+y^2}
$
$
\frac{\partial U}{\partial z} = F_z \Rightarrow U_3 = xylogz + c(x,y)
$
dove per $U_3$ posso assumere come parametro arbitrario c una funzione delle sole coordinate $x$ e $y$, cioe':
$
c(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}
$
Quindi ho che la funzione potenziale cercata e':
$
U=xylogz+\sqrt{x^2+y^2}
$
Ora so che:
$
F=\nabla U
$
cioe' $\omega$ e' esatta, quindi
$
\int_{\gamma} Fds = \int_a^b dU = U(b)-U(a)
$
cioe':
$
\int_0^1 dU(x(t),y(t),z(t)) = arctan^2(t(t-1))cos^2(t(t-1))log(sin^2(t(t-1))+1) + \sqrt{arctan^4(t(t-1))+cos^4(t(t-1))} |_0^1 = 0
$
fine.
Spero che qualcuno mi possa rispondere, sono accettate critiche e/o suggerimenti.
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta .

[Mephlip]

Diciamo che a parer mio salti delle considerazioni abbastanza importanti.
Innanzitutto non dici dove è definito il campo vettoriale, poi dici che $\omega$ è esatta; ma in che insieme è esatta e perché lo è?
Inoltre la curva è chiusa, infatti $\gamma(0)=\gamma(1)=(0,1,1)$, perciò dopo aver verificato l'esattezza avresti dovuto sapere già che l'integrale di una forma differenziale esatta lungo una curva chiusa è nullo.
Insomma, mi sento di consigliarti di padroneggiare meglio la teoria prima di integrare in maniera rocambolesca per poi trovarti un risultato nullo.
L'esercizio in sé non mi sembra svolto in maniera sbagliata (ma non ho controllato i conti, solo il procedimento), dico ciò solo per invitarti ad avere un approccio meno meccanico

[antony_8]

Ciao Meohlip, grazie per avermi risposto.
Alcune considerazioni (per me ovvie) le ho saltate (tranne il dominio di definizione xD), essendo un esercizio tra me e me.
Faro' sicuramente tesoro dei tuoi consigli.

[dissonance]

La cosa più importante è che non puoi concludere dalla sola irrotazionalità che il campo ammette un potenziale, perché non è definito su un dominio semplicemente connesso. D'altra parte, non si capisce per quale motivo tu abbia fatto quella considerazione, visto che poi calcoli esplicitamente un potenziale.

[antony_8]

Ciao dissonance, forse ho un po' di confusione (proprio ora sto approfondendo meglio la teoria), il mio ragionamento (in parte sbagliato era):
allora parto da una definizione sul libro di Analisi 2, che recita:
Definizione:
Se, data una forma differenziale $\omega$ di classe $C^1(E)$, esiste una funzione $U:E \rightarrow R$, di classe $C^2(E)$, tale che $dU=\omega$ in E, allora $\omega$ si dice esatta e U si chiama funzione potenziale.
Quindi effettivamente l'irrotazionalita' non porta all'esattezza di $\omega$, ma l'esistenza della funzione potenziale. Quello che ora mi sta venendo in mente e' se trovando una curva che ha punti iniziali e finali coincidenti (quindi per esempio la curva parametrizzata dataci), e dimostro che:
$
\int_{\gamma} Fds = 0
$
(dove $Fds$ non e' altro che il prodotto scalare tra il campo vettoriale e la derivata della parametrizzazione), quindi che tale integrale e' uguale a 0, allora questo sara' vero per ogni altra curva $\gamma$ (cioe' il campo vettoriale non compie lavoro per qualsiasi curva). Di conseguenza non sara' necessario calcolare la funzione potenziale. E' giusto quello che ho detto? Ti ringrazio in anticipo.

[anto_zoolander]

In realtà per definire una forma differenziale esatta bastano le seguenti cose:
Dato uno spazio euclideo $(E,V)$ di dimensione finita, un aperto $UsubseteqE$ e il duale $V^(star)$. Una forma differenziale sarà una qualsiasi applicazione

$omega:U->V^(star)$

Poi diremo che $omega$ è esatta se esiste $f:U->RR$ tale che $df=omega$

[dissonance]

"fisico8":
Se, data una forma differenziale $\omega$ di classe $C^1(E)$, esiste una funzione $U:E \rightarrow R$, di classe $C^2(E)$, tale che $dU=\omega$ in E, allora $\omega$ si dice esatta e U si chiama funzione potenziale.

Ok.

Quindi effettivamente l'irrotazionalita' non porta all'esattezza di $\omega$, ma l'esistenza della funzione potenziale.

Ma no. Hai appena detto che "esattezza" e "esistenza di un potenziale" sono la stessa cosa. Questa frase è sbagliata.

Comunque, c'è un problema di terminologia. Un campo vettoriale può essere irrotazionale, ma per una forma differenziale si dice che è chiusa. Campi vettoriali e forme differenziali sono in fondo la stessa cosa, ma devi metterti d'accordo con te stesso e usare solo una nomenclatura e non mischiare. (Prima che i vari KB vengano a crocifiggermi, segnalo che le forme differenziali sono una cosa più generale dei campi vettoriali e che hanno applicazioni più avanzate, per esempio, in relatività generale).

Quello che ora mi sta venendo in mente e' se trovando una curva che ha punti iniziali e finali coincidenti (quindi per esempio la curva parametrizzata dataci), e dimostro che:
$
\int_{\gamma} Fds = 0
$
(dove $Fds$ non e' altro che il prodotto scalare tra il campo vettoriale e la derivata della parametrizzazione), quindi che tale integrale e' uguale a 0, allora questo sara' vero per ogni altra curva $\gamma$ (cioe' il campo vettoriale non compie lavoro per qualsiasi curva). Di conseguenza non sara' necessario calcolare la funzione potenziale. E' giusto quello che ho detto? Ti ringrazio in anticipo.

Questo è giusto, ma NON è quello che hai fatto prima, e non capisco da dove ti viene.

Prima hai ragionato correttamente. Hai dimostrato che un potenziale esiste, perché lo hai calcolato esplicitamente, e in particolare il campo non compie lavoro su qualsiasi cammino chiuso. Basta così, non c'era altro da dire.