Integrali curvilinei di forme differenziali
Buon giorno,
vorrei proporvi un esercizio di integrazione curvilinea di forme differenziali.
E' data $\ omega= -(y-1)/(x^2+(y-1)^2)dx+x/(x^2+(y-1)^2)dy$ e la curva $\gamma= { x^2+y^2=R^2, R!=1}$ ossia una qualunque circonferenza di centro l'origine e raggio R diverso da 1. Si chiede di valutare $\ int_\gamma \omega$.
Ciò che ho fatto io è:
Osservare che la forma differenziale è definita su $\D= RR ^2 \\{(0,1) }$ che NON è semplicemente connesso. La forma differenziale è chiusa: infatti chiamando $\ A=-(y-1)/(x^2+(y-1)^2)$ e $\ B=x/(x^2+(y-1)^2)$ si ha che $(delA)/(dely) = (delB)/(delx)$ . Quindi, prendendo in esame le circonferenze con $\R in (0,1)$, esse non avvolgono (nè intercettano) la singolarità ed è quindi possibile prendere un $\Omega sub RR ^2$ che la include senza avvolgere $\ (0,1)$ esso sarà semplicemente connesso e la forma differenziale ivi esatta, ragion per cui , considerando che le curva in esame è chiusa,
$\ int_\gamma \omega = 0$.
Bisogna ora valutare che cosa succede per le circonferenze di raggio $R>1$. Cioè che ho pensato di fare è, applicare un taglio interno considerando una circonferenza più piccola centrata proprio in (0,1) e considerare il dominio $\ D'$ ottenuto percorrendo in senso antiorario il bordo esterno fino al taglio, percorrere il taglio, poi la circonferenza più piccola in senso orario, tornare sul taglio e chiudere il giro. In questo modo il taglio non porta contributi perchè è percorso due volte nei due sensi, ma questo mi permette di applicare il teorema di Green e dire che (chiamando $\ CR$ la circonferenza più piccola)
$\ int_{\gamma \uu CR} \omega = int int (delA)/(dely) -(delB)/(delx) dxdy = 0$ poichè la forma differenziale è chiusa.
Allora,
$\ int_gamma \omega - int_{CR} \omega = 0 <=>int_gamma \omega = int_{CR} \omega $ quindi facendo l'integrale sulla circonferenza più interna (se non mi sono sbagliato) ottengo quello sulla curva $\gamma$ che è una qualunque circonferenza di centro $\(0,0)$ e raggio $\R >1$
Qua mi son fermato (anche perchè penso sia quasi finito l'esercizio) perchè preferisco prima chiedere se quanto è stato fatto è corretto dal momento che il teorema di Green è stato fatto solo parzialmente a lezione e non vorrei averlo usato impropriamente o in generale aver commesso errori altrove.
Inoltre volevo porre un'altra domanda: come $\gamma$ questo esercizio fornisce una circonferenza che è una curva facile, ma se mi avesse fornito una qualunque altra curva chiusa anche molto complicata, questo ragionamento sarebbe comunque valso o mi sbaglio?
Ringrazio in anticipo per le risposte
vorrei proporvi un esercizio di integrazione curvilinea di forme differenziali.
E' data $\ omega= -(y-1)/(x^2+(y-1)^2)dx+x/(x^2+(y-1)^2)dy$ e la curva $\gamma= { x^2+y^2=R^2, R!=1}$ ossia una qualunque circonferenza di centro l'origine e raggio R diverso da 1. Si chiede di valutare $\ int_\gamma \omega$.
Ciò che ho fatto io è:
Osservare che la forma differenziale è definita su $\D= RR ^2 \\{(0,1) }$ che NON è semplicemente connesso. La forma differenziale è chiusa: infatti chiamando $\ A=-(y-1)/(x^2+(y-1)^2)$ e $\ B=x/(x^2+(y-1)^2)$ si ha che $(delA)/(dely) = (delB)/(delx)$ . Quindi, prendendo in esame le circonferenze con $\R in (0,1)$, esse non avvolgono (nè intercettano) la singolarità ed è quindi possibile prendere un $\Omega sub RR ^2$ che la include senza avvolgere $\ (0,1)$ esso sarà semplicemente connesso e la forma differenziale ivi esatta, ragion per cui , considerando che le curva in esame è chiusa,
$\ int_\gamma \omega = 0$.
Bisogna ora valutare che cosa succede per le circonferenze di raggio $R>1$. Cioè che ho pensato di fare è, applicare un taglio interno considerando una circonferenza più piccola centrata proprio in (0,1) e considerare il dominio $\ D'$ ottenuto percorrendo in senso antiorario il bordo esterno fino al taglio, percorrere il taglio, poi la circonferenza più piccola in senso orario, tornare sul taglio e chiudere il giro. In questo modo il taglio non porta contributi perchè è percorso due volte nei due sensi, ma questo mi permette di applicare il teorema di Green e dire che (chiamando $\ CR$ la circonferenza più piccola)
$\ int_{\gamma \uu CR} \omega = int int (delA)/(dely) -(delB)/(delx) dxdy = 0$ poichè la forma differenziale è chiusa.
Allora,
$\ int_gamma \omega - int_{CR} \omega = 0 <=>int_gamma \omega = int_{CR} \omega $ quindi facendo l'integrale sulla circonferenza più interna (se non mi sono sbagliato) ottengo quello sulla curva $\gamma$ che è una qualunque circonferenza di centro $\(0,0)$ e raggio $\R >1$
Qua mi son fermato (anche perchè penso sia quasi finito l'esercizio) perchè preferisco prima chiedere se quanto è stato fatto è corretto dal momento che il teorema di Green è stato fatto solo parzialmente a lezione e non vorrei averlo usato impropriamente o in generale aver commesso errori altrove.
Inoltre volevo porre un'altra domanda: come $\gamma$ questo esercizio fornisce una circonferenza che è una curva facile, ma se mi avesse fornito una qualunque altra curva chiusa anche molto complicata, questo ragionamento sarebbe comunque valso o mi sbaglio?
Ringrazio in anticipo per le risposte
Risposte
Certamente, va benissimo. Hai essenzialmente dimostrato un teorema molto importante, e cioè che gli integrali delle forme differenziali chiuse sono invarianti per omotopia. Come osservavi, questo non vale solo per le circonferenze ma per tutte le curve (con un minimo di regolarità affinché abbia senso calcolare integrali su di esse).
Ti resta da calcolare l'integrale sulla circonferenza centrata in \((0, 1)\). Puoi usare un cambio di variabile:
\[
X=x,\quad Y=y-1, \]
che implica \(dx=dX, dy=dY\), quindi le formule si semplificano.
Ti resta da calcolare l'integrale sulla circonferenza centrata in \((0, 1)\). Puoi usare un cambio di variabile:
\[
X=x,\quad Y=y-1, \]
che implica \(dx=dX, dy=dY\), quindi le formule si semplificano.
Grazie mille per la risposta. Quindi in definitiva si ha $\2\pi$ se $\R>1$ anche senza fare i conti no?
Cioè sì, facendoli chiamo $\r$ il raggio della circonferenza più piccola, la parametrizzo
$\CR(t)=(rcost, 1+rsint)$ e quindi
$\dot CR(t)=(-rsint, rcost)$
faccio la sostituzione che mi hai suggerito , calcolo l'integrale usando la definizione e ottengo
$\ int _0^{2\pi} r^2(sin^2t + cos^2t)/(r^2(sin^2t + cos^2t)) = 2\pi$
Ma anche senza farli avrei potuto dirlo no?
Cioè sì, facendoli chiamo $\r$ il raggio della circonferenza più piccola, la parametrizzo
$\CR(t)=(rcost, 1+rsint)$ e quindi
$\dot CR(t)=(-rsint, rcost)$
faccio la sostituzione che mi hai suggerito , calcolo l'integrale usando la definizione e ottengo
$\ int _0^{2\pi} r^2(sin^2t + cos^2t)/(r^2(sin^2t + cos^2t)) = 2\pi$
Ma anche senza farli avrei potuto dirlo no?
Il risultato è giusto. Come fai a dirlo senza conti? (Un modo ci sarebbe, ma comunque qualche conto c'è sempre)
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