Integrali curvilinei
Salve a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio che non riesco ad affrontare:
Siano $D$ il cerchio chiuso di $R^2$ di centro il punto $(1,1)$ e raggio $1/2$ ed $S$ la superficie di $R^3$ di equazioni parametriche:
${ x = u, y=v, z = 1 +(2u+2v-u^2-v^2-1)^(1/2), (u,v) in D}$
Provare la regolarità e calcolare l'area della superficie $S$.
Ho pensato di rappresentare il cerchio $D$ in coordinate parametriche
${x = 1+(1/2)cos\theta, x = 1+(1/2)sen\theta, \theta in (0,2\pi)$
e quindi poi ricavarmi $z$ ma ho dei dubbi sull'approccio.
Qualche suggerimento?
Grazie
Siano $D$ il cerchio chiuso di $R^2$ di centro il punto $(1,1)$ e raggio $1/2$ ed $S$ la superficie di $R^3$ di equazioni parametriche:
${ x = u, y=v, z = 1 +(2u+2v-u^2-v^2-1)^(1/2), (u,v) in D}$
Provare la regolarità e calcolare l'area della superficie $S$.
Ho pensato di rappresentare il cerchio $D$ in coordinate parametriche
${x = 1+(1/2)cos\theta, x = 1+(1/2)sen\theta, \theta in (0,2\pi)$
e quindi poi ricavarmi $z$ ma ho dei dubbi sull'approccio.
Qualche suggerimento?
Grazie
Risposte
Non so come hai usato la parametrizzazione del bordo, visto che il dominio d'integrazione è anche tutto quello che c'è dentro. Comunque, dopo avere impostato l'integrale, suggerirei una traslazione in modo da centrare il cerchio sull'origine e poi passare a coordinate polari.
"robbstark":
Non so come hai usato la parametrizzazione del bordo, visto che il dominio d'integrazione è anche tutto quello che c'è dentro. Comunque, dopo avere impostato l'integrale, suggerirei una traslazione in modo da centrare il cerchio sull'origine e poi passare a coordinate polari.
si, stavo leggendo proprio a proposito di questo metodo, ed effettivamente ho parametrizzato solo il bordo.
Consideriamo la parametrizzazione del solo $D$, e consideriamola come se fosse di centro l'origine, allora si ha nel caso generale che
$\rho = 2rcos\theta$ e quindi in quello particolare si ha $\rho = cos\theta$
pertanto dovrei poter scrivere la seguente parametrizzazione:
$x =\rhocos\theta, y = \rhosen\theta, z =1 +(2\rhocos\theta +2\rhosen\theta -(\rhocos\theta)^2 - (\rhosen\theta)^2 -1)^(1/2); \rho
Dovrebbe essere in questo modo ma vorrei una conferma.
"emanuele78":
Consideriamo la parametrizzazione del solo $D$, e consideriamola come se fosse di centro l'origine, allora si ha nel caso generale che $\rho = 2rcos\theta$
Non ti seguo qua.
Comunque, l'integrale da calcolare per l'area, se non ho sbagliato i conti iniziali, è:
$int_(D) 1/(sqrt(2x+2y-x^2 -y^2 -1)) dx dy=$
$= int_(D) 1/(sqrt(1-(x-1)^2 -(y-1)^2)) dx dy$, dove $D={(x,y): (x-1)^2 +(y-1)^2 <=1/4}$.
A questo punto trasla:
$x-1=x'$ $dx=dx'$
$y-1=y'$ $dy=dy'$
$D={(x',y'): (x')^2 +(y')^2 <=1/4}$
Ora passa in coordinate polari, per cui l'integrale diventa:
$int_(0)^(1/2) d rho int_(0)^(2 pi) d theta 1/(sqrt(1-rho^2)) rho$
intanto ti ringrazio dell'aiuto e vedo di capirlol bene.
In merito alla mia soluzione nel mio libro mi da un metodo di calcolo quando il centro non è l'origine, in cui si considera $\rho = 2rcos\theta$, dove $2r$ è il diametro, cioè l'iptenusa del triangolo inscritto nel cerchio di centro diverso dall'origine e punto $P$ sulla circonferenza e quindi $\rho$ non è altro che l'ipotenusa per il coseno di $\theta$ dove $\theta$ è l'angolo tra l'ipotenusa e il segmento congiungente il punto $P$ nel cerchio e l'origine (nel caso in cui il centro è ancora sull'asse delle $x$).
Alla fine i due risultati dovrebbero venire uguali, penso.
Cmq farò delle prove.
In merito alla mia soluzione nel mio libro mi da un metodo di calcolo quando il centro non è l'origine, in cui si considera $\rho = 2rcos\theta$, dove $2r$ è il diametro, cioè l'iptenusa del triangolo inscritto nel cerchio di centro diverso dall'origine e punto $P$ sulla circonferenza e quindi $\rho$ non è altro che l'ipotenusa per il coseno di $\theta$ dove $\theta$ è l'angolo tra l'ipotenusa e il segmento congiungente il punto $P$ nel cerchio e l'origine (nel caso in cui il centro è ancora sull'asse delle $x$).
Alla fine i due risultati dovrebbero venire uguali, penso.
Cmq farò delle prove.
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