Integrali curvilinei
ciao a tutti!!
dunque mi sono imbattuto in un problema in cui devo calcolare la lunghezza di un luogo geometrico, il problema è che l'equazione del luogo non è esplicitabile in nessuna delle due variabili x,y...un mio amico mi ha detto di lasciare perdere e di aspettare 2 anni quando avrò studiato gli integrali curvilinei...centrano veramente qualcosa? potresti spiegarmi come fare? (nn credo che aspetterò 2 anni!!![;)])
magari fate pure qualche esempio...tutto quello che ho trovato su internet è estremamente formale e senza alcun tipo di esempio..neanche su questo sito!!..inutile dire che sul mio libro delle superiori non se ne fà alcun accenno
grazie mille
ciao
il vecchio
dunque mi sono imbattuto in un problema in cui devo calcolare la lunghezza di un luogo geometrico, il problema è che l'equazione del luogo non è esplicitabile in nessuna delle due variabili x,y...un mio amico mi ha detto di lasciare perdere e di aspettare 2 anni quando avrò studiato gli integrali curvilinei...centrano veramente qualcosa? potresti spiegarmi come fare? (nn credo che aspetterò 2 anni!!![;)])
magari fate pure qualche esempio...tutto quello che ho trovato su internet è estremamente formale e senza alcun tipo di esempio..neanche su questo sito!!..inutile dire che sul mio libro delle superiori non se ne fà alcun accenno
grazie mille
ciao
il vecchio
Risposte
Se ho capito bene, vecchio, hai a disposizione una funzione in forma implicita tipo :
f(x,y)=0
e non puoi trasformarla in forma esplicita :
y = g(x)
od in forma parametrica :
x = x(t)
y = y(t).
Nei due ultimi casi, la formula per calcolare la lunghezza della curva è ben nota.
Se sei nella prima situazione, puoi sempre usare la formula che dà la lunghezza nel caso delle funzioni esplicite, previo l'avere ottenuto la derivata :
dy/dx
che si ottiene usando la formula alle derivate parziali :
dy/dx = - D(x)f(x,y) / D(y)f(x,y)
dove D(x)f(x,y) rappresenta la derivata parziale di f rispetto ad x e D(y)f(x,y), quella rispetto alla y.
Le derivate parziali non sono nel programma (almeno credo) però il concetto è facile. Immagina di avere una funzione con due (o più) variabili e di fare la derivata rispetto ad una variabile tenendo l'altra (o le altre) costanti.
Esempio (banale, giusto per capire) :
f(x,y) = y - x^2 = 0
D(x)f(x,y) = -2x
D(y)f(x,y) = 1
dy/dx = -(-2x) / 1 = 2x
ecc. ecc.
Questo metodo, però, è valido solo se la derivata dy/dx che si ottiene è funzione della sola x (o della sola y).
Questo capita solo in casi paricolari per cui in generale si deve passare attraverso o la rappresentazione esplicita o quella parametrica.
A meno di considerazioni di tipo superiore che non conosco.
S.E.e.O.
Arrigo
ps. evviva la tua impazienza, indice di una grande sete di sapere ...
f(x,y)=0
e non puoi trasformarla in forma esplicita :
y = g(x)
od in forma parametrica :
x = x(t)
y = y(t).
Nei due ultimi casi, la formula per calcolare la lunghezza della curva è ben nota.
Se sei nella prima situazione, puoi sempre usare la formula che dà la lunghezza nel caso delle funzioni esplicite, previo l'avere ottenuto la derivata :
dy/dx
che si ottiene usando la formula alle derivate parziali :
dy/dx = - D(x)f(x,y) / D(y)f(x,y)
dove D(x)f(x,y) rappresenta la derivata parziale di f rispetto ad x e D(y)f(x,y), quella rispetto alla y.
Le derivate parziali non sono nel programma (almeno credo) però il concetto è facile. Immagina di avere una funzione con due (o più) variabili e di fare la derivata rispetto ad una variabile tenendo l'altra (o le altre) costanti.
Esempio (banale, giusto per capire) :
f(x,y) = y - x^2 = 0
D(x)f(x,y) = -2x
D(y)f(x,y) = 1
dy/dx = -(-2x) / 1 = 2x
ecc. ecc.
Questo metodo, però, è valido solo se la derivata dy/dx che si ottiene è funzione della sola x (o della sola y).
Questo capita solo in casi paricolari per cui in generale si deve passare attraverso o la rappresentazione esplicita o quella parametrica.
A meno di considerazioni di tipo superiore che non conosco.
S.E.e.O.
Arrigo
ps. evviva la tua impazienza, indice di una grande sete di sapere ...
Se posti l'equazione della curva si puo' vedere
se e' parametrizzabile.A volte, malgrado le apparenze,
una curva puo' essere rappresentata razionalmente con
l'uso di particolari curve (le cosiddette "curve aggiunte";
si tratta pero' di un argomento superiore).
Per esempio , la curva di equazione:
y^3-x^2-3y^2+4x+3y-5=0
(che non e' facile da risolvere in termini razionali)
ha la rappresentazione parametrica data da:
x=(2t^3+1)/t^3, y=(t^2+1)/t^2.
karl.
se e' parametrizzabile.A volte, malgrado le apparenze,
una curva puo' essere rappresentata razionalmente con
l'uso di particolari curve (le cosiddette "curve aggiunte";
si tratta pero' di un argomento superiore).
Per esempio , la curva di equazione:
y^3-x^2-3y^2+4x+3y-5=0
(che non e' facile da risolvere in termini razionali)
ha la rappresentazione parametrica data da:
x=(2t^3+1)/t^3, y=(t^2+1)/t^2.
karl.
cmq ora mi studierò con calma cosa ha detto Arriama (grazie!!), visto che sono appena tornato da una settimana di lavoro volontario (e massacrante!!!) al Meeting di Rimini!!! devo stamparmi la pagina...e recuperare un po' di sonno!! [:p]
grazie ancora una volta della vostra attenzione
ciao
il vecchio
grazie ancora una volta della vostra attenzione
ciao
il vecchio
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