Integrali curvilinei

[dem1509]

Ciao a tutti! L'esercizio mi chiede di calcolare l'integrale lungo la curva $gamma$ del campo vettoriale $F(x,y)=(e^-(ny)lnx,py^-1)$

con $gamma(t)=(t, lnt)$ tra $ [e, e^h]$
Ho verificato la regolarità della curva nell'intervallo dato dopo ho trovato $F(gamma(t))=(e^(-nlnt)lnt,p/lnt)$
$gamma'(t)=(1,1/t)$
e dovendo calcolare l'integrale curvilineo di seconda specie ho calcolato il prodotto scalare che risulta essere
$(t^-nlnt+p/(tlnt))$ Dopo devo calcolare l'integrale di questa somma tra gli estremi della curva $ [e, e^h]$ giusto? qualcuno mi conferma ciò che ho appena scritto??

[ciampax]

Sì, alla fine devi calcolare
$$\int_e^{e^h}\left(t^{-n}\ln t+\frac{p}{t\ln t}\right)\ dt$$

[dem1509]

"ciampax":Sì, alla fine devi calcolare
$$\int_e^{e^h}\left(t^{-n}\ln t+\frac{p}{t\ln t}\right)\ dt$$

con in secondo addendo ci sono ma con il primo??? Come si fa? Ho provato in mille modi ma non riesco ad uscirne

[stormy1]

"mate947":con in secondo addendo ci sono ma con il primo??? Come si fa?

integra per parti prendendo come fattore differenziale $t^(-n)$

[ciampax]

Poniamo $s=\ln t$ da cui $t=e^s$. Si ha $dt=e^s\ ds$ e $t=e\to s=1,\ t=e^h\to s=h$ per cui
$$\int_1^h\left(e^{-ns} s+\frac{p}{s e^s}\right)\ e^s\ ds=\int_1^h\left(s e^{(1-n)s}+\frac{p}{s}\right)\ ds=$$
integrando per parti il primo termine se $n\ne 1$
$$=\left[\frac{s e^{(1-n)s}}{1-n}\right]_1^h-\frac{1}{n-1}\int_1^h e^{(1-n)s}\ ds+p\left[\ln|s|\right]_1^h=\\ \frac{h e^{(1-n)h}-e^{1-n}}{1-n}-\frac{1}{1-n}\left[\frac{e^{(1-n)s}}{1-n}\right]_1^h+p\left(\ln|h|-\ln|1|\right)=\\ \frac{h e^{(1-n)h}-e^{1-n}}{1-n}-\frac{e^{(1-n)h}-e^{1-n}}{(1-n)^2}+p\ln|h|=\\ \frac{e^{(1-n)h}(h(1-n)-1)+n e^{1-n}}{(1-n)^2}+p\ln|h|$$
Se invece $n=1$ l'integrale diventa
$$\int_1^h\left(s+\frac{p}{s}\right)\ ds=\left[\frac{s^2}{2}+p\ln|s|\right]_1^h=\frac{h^2-1}{2}+p\ln|h|$$