Integrali con residui: spiegazione passaggio

[perlano]

Ciao a tutti, vi chiedo una mano nel capire un passaggio che non mi è chiaro della risoluzione di un integrale usando i residui.
Dunque:

per calcolare l'integrale $ int_(-oo )^(oo ) x^2/(x^2+4)^2 dx $ considero la funzione complessa associata $ f(z)=z^2/(z^2+4)^2 $ e mi trovo:

$ int_(-oo )^(oo ) x^2/(x^2+4)^2 dx = lim_(r -> oo) int_(del r) z^2/(z^2+4)^2 dz = 2 pi i res(z^2/(z^2+4)^2 , 2i) $

e fin qui ci sono.

Ora il testo dice: Poichè $ res(z^2/(z^2+4)^2 , 2i) = lim_(z -> 2i) d/dz z^2/(z+2i)^2 = -i/8 $ si ha $ int_(-oo )^(oo ) x^2/(x^2+4)^2 dx = -2 pi i i/8 = pi/4 $

Quello che non ho capito è: come fa a passare da $ z^2/(z^2+4)^2 $ a $ z^2/(z+2i)^2 $ ???

Cosa mi sono perso? Aiutatemi!
Grazie

[poncelet]

Sta calcolando il residuo della funzione in un dei due poli e precisamente in [tex]$z=2i$[/tex]. Lo svolgimento scritto per intero è:

[tex]$Res(f(z),2i)=\lim_{z\to 2i}\frac{d}{dz}\left((z-2i)^{2}\frac{z^{2}}{(z-2i)^{2}(z+2i)^{2}}\right)=\lim_{z\to 2i}\frac{d}{dz}\frac{z^{2}}{(z+2i)^{2}}$$[/tex]

[perlano]

Ahhhh ecco!
Quindi considera il denominatore di $ z^2/(z^2+4)^2 $ come due differenze di quadrati, cioè $ z^2 / ((z^2 - (-4)) (z^2 - (-4))) $ in modo da poterlo semplificare col termine al numeratore.

Ora ho capito, grazie maxsiviero

[poncelet]

Non sono sicuro di avere capito bene cosa intendi.

[perlano]

Se ho capito bene i passaggi per sviluppare il denominatore sono questi:

$ (z^2+4)^2 = (z^2 + 4) (z^2 + 4) = (z^2 - (-4)) (z^2 - (-4)) $ che, essendo due differenze di quadrati le cui radici sono $ z $ e $ 2i $ in questo caso, posso scrivere come:

$ (z + 2i) (z - 2i) (z + 2i) (z - 2i) = (z + 2i)^2 (z - 2i)^2 $

A questo punto inserendo questo risultato nella formula completa la parte $ (z - 2i)^2 $ si semplifica e resta il risultato di prima.

Dico bene?

P.S.: il "considera" del precedente post era riferito al testo

[poncelet]

Così mi torna.