Integrali con residui ,Jordan e percorsi di integrazione
[mi scuso in anticipo per le dimensioni del post, spero che non scoraggino tutti i lettori , ho solamente cercato di essere esaustivo]
Salve a tutti, ho alcuni dubbi riguardo il calcolo di alcuni integrali reali del tipo
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-\imath \omega x}f (x)dx[/tex]
(ho preso un esempio BEN NOTO
)
La prima cosa che faccio è discutere la sommabilità di f(x) , infatti se la funzione f risulta essere sommabile ne posso dedurre l'integrabilità.
Ecco un primo dubbio: basta discutere la sommabilità di f(x) oppure dell'intero prodotto [tex]e^{-\imath \omega x}f(x)[/tex]?
Lo step successivo consiste nell'individuare le eventuali singolarità della f(x) : Mi calcolo i limiti per verificare le definizioni di "singolarità eliminabile" oppure di "polo di ordine n".
Successivamente passo alla scelta del percorso di integrazione ed i miei dubbi si addensano:
Di solito, i cammini più convenienti per l'integrazione sono i semicerchi, i rettangoli ed i cerchi, che vanno scelti in base alla "forma" della funzione da integrare, ma quando mi ritrovo a dover integrare su semicerchi, come scelgo il semipiano immaginario corretto in cui inserire il mio percorso di integrazione?
Da quello che ho capito leggendo le dispense, il cammino va scelto in modo da ritrovarsi in una situazione vantaggiosa, ad esempio in una situazione di applicabilità del lemma di Jordan. Quindi se mi ritovo ad integrare funzioni che al numeratore hanno esponenziali con esponenti positivi allora considero il percorso del semipiano Im>0 altrimenti del semipiano Im<0.
Come devo comportarmi quando ho funzioni al cui numeratore compaiono somme di esponenziali con esponenti di segno diverso? non posso considerare un unica semicirconferenza perchè una delle due funzioni esponenziali non sarebbe tale da potervi applicare il lemma di jordan.
Vi riporto il seguente esempio:
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty}{e^{\imath\omega z}\frac{sen(z)^{2}}{z^{2}}}dz[/tex]
scrivendo il seno come somma di esponenziali ottengo:
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{\imath z(2-\omega )}+e^{\imath z(-2-\omega )}-2e^{\imath \omega z}}{-4z^{2}}dz[/tex]
in questo caso si deve il comportamento dell'integrale in base al parametro omega ma come scelgo i cammini di integrazione nei vari casi?
Potrei applicare la linearità dell'integrale e dividerlo in 3 pezzi da studiare singolarmente? (a lezione li ho visti risolvere sia dividendoli che lasciando un unico integrale) Mi sembra di aver capito che "spezzando" l'integrale si rischia di aggiungere delle singolarità polari che prima magari erano eliminabili, ma non ho ben capito come comportarmi in questo senso.
Ho visto risolvere un integrale con un cammino ottenuto "per differenza" ovvero si integra su tutta la circonferenza centrata nell'origine e poi vi si sottrae una semicirconferenza per ottenere (appunto per differenza) quella che cercavamo, è il caso dell'esempio che ho proposto?
grazie infinite a chiunque sia arrivato alla fine del post
Salve a tutti, ho alcuni dubbi riguardo il calcolo di alcuni integrali reali del tipo
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-\imath \omega x}f (x)dx[/tex]
(ho preso un esempio BEN NOTO
)La prima cosa che faccio è discutere la sommabilità di f(x) , infatti se la funzione f risulta essere sommabile ne posso dedurre l'integrabilità.
Ecco un primo dubbio: basta discutere la sommabilità di f(x) oppure dell'intero prodotto [tex]e^{-\imath \omega x}f(x)[/tex]?
Lo step successivo consiste nell'individuare le eventuali singolarità della f(x) : Mi calcolo i limiti per verificare le definizioni di "singolarità eliminabile" oppure di "polo di ordine n".
Successivamente passo alla scelta del percorso di integrazione ed i miei dubbi si addensano:
Di solito, i cammini più convenienti per l'integrazione sono i semicerchi, i rettangoli ed i cerchi, che vanno scelti in base alla "forma" della funzione da integrare, ma quando mi ritrovo a dover integrare su semicerchi, come scelgo il semipiano immaginario corretto in cui inserire il mio percorso di integrazione?
Da quello che ho capito leggendo le dispense, il cammino va scelto in modo da ritrovarsi in una situazione vantaggiosa, ad esempio in una situazione di applicabilità del lemma di Jordan. Quindi se mi ritovo ad integrare funzioni che al numeratore hanno esponenziali con esponenti positivi allora considero il percorso del semipiano Im>0 altrimenti del semipiano Im<0.
Come devo comportarmi quando ho funzioni al cui numeratore compaiono somme di esponenziali con esponenti di segno diverso? non posso considerare un unica semicirconferenza perchè una delle due funzioni esponenziali non sarebbe tale da potervi applicare il lemma di jordan.
Vi riporto il seguente esempio:
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty}{e^{\imath\omega z}\frac{sen(z)^{2}}{z^{2}}}dz[/tex]
scrivendo il seno come somma di esponenziali ottengo:
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{e^{\imath z(2-\omega )}+e^{\imath z(-2-\omega )}-2e^{\imath \omega z}}{-4z^{2}}dz[/tex]
in questo caso si deve il comportamento dell'integrale in base al parametro omega ma come scelgo i cammini di integrazione nei vari casi?
Potrei applicare la linearità dell'integrale e dividerlo in 3 pezzi da studiare singolarmente? (a lezione li ho visti risolvere sia dividendoli che lasciando un unico integrale) Mi sembra di aver capito che "spezzando" l'integrale si rischia di aggiungere delle singolarità polari che prima magari erano eliminabili, ma non ho ben capito come comportarmi in questo senso.
Ho visto risolvere un integrale con un cammino ottenuto "per differenza" ovvero si integra su tutta la circonferenza centrata nell'origine e poi vi si sottrae una semicirconferenza per ottenere (appunto per differenza) quella che cercavamo, è il caso dell'esempio che ho proposto?
grazie infinite a chiunque sia arrivato alla fine del post
Risposte
è passato del tempo ma ancora nessuna risposta, so che è Natale ed è un po azzardato ritentare oggi ma non ho ancora trovato una risposta formale al mio problema (in rete non ci sono molti esercizi complessi svolti)
Cè qualcuno in grado di spiegarmi come comportarmi quando ho più esponenziali al numeratore e come scegliere il cammino di integrazione?
Cè qualcuno in grado di spiegarmi come comportarmi quando ho più esponenziali al numeratore e come scegliere il cammino di integrazione?
"fatmatt":Questa domanda per fortuna è facile. E' esattamente la stessa cosa, perché [tex]\lvert e^{-\imath \omega x}\rvert=1[/tex]. Per il resto purtroppo mi è difficile aiutarti in questo momento, il massimo che posso fare è passarti il link ad una dispensa che riassume varie applicazioni dei residui: http://faculty.up.edu/wootton/Complex/Chapter11.pdf , sperando che tu possa trovarci qualcosa di utile.
Ecco un primo dubbio: basta discutere la sommabilità di f(x) oppure dell'intero prodotto [tex]e^{-\imath \omega x}f(x)[/tex]?
Grazie mille per la rispsta, in effetti potevo arrivarci da solo XD consulterò le dispense che mi hai linkato per fortuna non sono italiane perchè quelle credo di averle lette tutte o quasi =)
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